Stieltjes T.J. Oeuvres заканчивает, том 2 (Noordhoff, 1918) М. , Stieltjes T.J. Oeuvres completes, tome 2 (Noordhoff, 1918)(fr)(600dpi)(T)(617s)_M

Stieltjes T.J. Oeuvres заканчивает, том 2 (Noordhoff, 1918) М.

Stieltjes T.J. Oeuvres completes, tome 2 (Noordhoff, 1918)(fr)(600dpi)(T)(617s)_M_.djvu

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Date Sep 18, 2005

Cites: A deux solutions distinctes d'une de ces équations
correspondent toujours deux solutions également distinctes de l'autre...
Alors il est clair que, pour avoir toutes les
solutions de l'équation indéterminée
a1x1-\-a2x2 + .....
Les Mémoires d'Euler sur l'Arithmétique ont été réunis en deux vo-
volumes (Leonhardi Euleri Commentationes arithmetics collectae...
On pourra con
sidérer dans ce numéro les éléments de la matrice comme des quantités
arbitraires...
Au lieu de x19 x2, ..., xm+n, on peut introduire de nouvelles incon-
inconnues , en posant
Xi = dAx[ + + +
i = 1, 2, ..., m -f- w...
On voit par là que le plus grand diviseur des deux matrices est le
même et, par conséquent, dans le procédé que nous avons employé
plus haut, on trouvera finalement un système dont la matrice a un
déterminant minimum égal à ± d...
On voit donc qu'il y a une réciprocité complète entre les deux ma-
matrices , et si l'on considère le système indéterminé
(*=l,2,...,n),
les nombres
0>i, 1 » Qi,2 > • • • » Q>i,m + n
0=1,2, ..., w),
en donneront m solutions indépendantes...
Les déterminants correspondants
de || A || et || A' || seront proportionnels et si, en particulier, le plus
grand diviseur de | A | est = 1, le plus grand diviseur de \\A'\\ sera
la valeur absolue de | C |...
et, d'après un théorème connu, un déterminant quelconque de cette
matrice est égal au déterminant correspondant de la matrice ||a<,fc|
multiplié par Dn~1...
Nous avons vu , dans le Chapitre II, que par une substitution linéaire
de déterminant ± 1, on peut tranformer l'expression
01,1 #1 + 01,2 %2 + • • • + C
en dix'i, di étant le plus grand commun diviseur des coefficients ai,i,
A l'aide de cette transformation, on déduira de (I) un système équi-
équivalent dont la matrice affectera la forme
d1 0 .....
Or la solution générale du système
homogène est
2 = 0, l,2,...,(
En supposant d = d' les déterminants de la matrice des \\Pi,k\\
renferment les coefficients pOtOj PitOj ..., pn,o sont égaux aux détermi-
déterminants correspondants de la matrice du système homogène, divisés par
d...
Prenons un système de m2 nombres entiers
aw (i,*= 1, 2, ..., m),
dont le déterminant
est positif > 0...
Adoptant cette définition de
volume, on peut conclure directement du théorème IX que le volume
du parallélépipède 0 A B C est exprimé par le déterminant A...
En effet, prenons d'abord arbitrairement les m premières colonnes
avec la seule condition
\aiik\ = A (i,k= 1,2, ..., m),
alors on pourra déterminer les autres colonnes comme au n° 3 ; il est
vrai que ces autres éléments
Cli,m + k = ((ti,l Aij>w-t-fr + <Xi,2 &2,m + k + • • • 4" ai,m &m,m+k) *...
C'est ce qui résulte immédiatement des propo-
propositions établies précédemment, si Ton se rappelle le théorème VII et
sa démonstration...
Nous terminerons ces considérations par quelques remarques
sur le plus grand commun diviseur d'une matrice...
En continuant ainsi, on reconnaît que
[1, 2, ..., r, Aj, a2, ..., Am_rj
est divisible par —^—r, et enfin que [^, A2, ..., Am] est divisible par
-j-...
On voit par là que nous avons à étudier les différentes formes que
peut prendre la forme F en opérant sur les variables x, y des substi-
substitutions de déterminants ± 1...
Ce système des Yt- pourrait s'appeler un système réduit ; il est unique
et le même pour tous les systèmes équivalents...
mière ligne, on obtiendra encore une matrice de la forme (A), en rem-
remplaçant xx par une expression
sans changer x29 %,....