Stieltjes T.J. Oeuvres заканчивает, том 2 (Noordhoff, 1918) М. , Stieltjes T.J. Oeuvres completes, tome 2 (Noordhoff, 1918)(fr)(600dpi)(T)(617s)_M

Stieltjes T.J. Oeuvres заканчивает, том 2 (Noordhoff, 1918) М.

Stieltjes T.J. Oeuvres completes, tome 2 (Noordhoff, 1918)(fr)(600dpi)(T)(617s)_M_.djvu

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Date Sep 18, 2005

Cites: , Mn +1 La valeur de
tu se présentera donc sous la forme
Mi M2 " " Mn +1
Pu Pz> • • • > Pn + i étant des nombres entiers...
En effet, on obtient ainsi m équa-
équations linéaires pour déterminer
01, m 4-£ > tf2,m4-A;> • • • , tf
Le déterminant de ce système est Am~1, mais, en le résolvant, on
trouve simplement
D) ...
Mais il est clair que l'on ne peut jamais
obtenir} de cette façon, une solution de (I) en nombres entiers, car
toute solution entière correspond à un système unique de valeurs en
tières de tx, t2, • •., tn...
Il est clair d'abord que
car, si ces nombres étaient tous divisibles par c > 1, on trouverait une
solution entière en posant t1 = —9 ce qui, on le voit facilement d'après
c
ce que nous avons dit plus haut, est contraire à la nature d'un système
fondamental de solutions...
Il est clair que, lorsque
||A'|| = !iC||XiJA!|,
tout déterminant de II A' \\ est égal au déterminant correspondant de
|| A || multiplié par le déterminant | C |...
D) du n° 3]
#t,l &l,m + k + ttt,2 &2,m + k + • • + ai,m&m,m + k— û? i, w»-f-fc A =0...
Lorsque || A || est la matrice de n solutions indépendantes du sys-
système (I), la matrice |] B || sera composée d'un système fondamental de
solutions...
En effet, dire que le système (III) admet une solution, c'est la même
chose que de dire que le système homogène
admet une solution où #0 = — 1...
Il est clair, du reste, que ce nombre k est simplement le nombre des
solutions des congruences
«MMi + oa,< «te + • • • + am,ium = 0 (mod A),
et, d'après un théorème que nous rencontrerons plus loin, on peut
conclure de là aussi cette valeur k = A...
Mais il est clair que cette matrice || E || doit avoir ici la
forme particulière
SUR LA THEORIE DES NOMBRES...
Il est clair, d'après
cela, que ce qu'il faudra entendre par dp_i, dp_2, • • •, di> ce sont les
plus grands diviseurs de matrices que nous pouvons désigner par
llAp-iH, ||Ap_2||, ..., liAJI...
XJ = pi,iXi+^,2X2+...+Pi,mXm = 0 (modM),
i = 1, 2, ..., m,
le déterminant des entiers pifk étant encore ± 1, en sorte qu'on peut
exprimer réciproquement les Xi par les X'-...
On peut donc
considérer les nombres ex, e2, ..., ep comme un système complet d'in-
d'invariants de la forme bilinéaire F...
La condition nécessaire et suffisante pour qu'il y ait des solutions
s'obtient à l'aide du théorème VIII sous la forme
(M "■ , JxL "•" ui y JxL "•" "" clo y ...
Mais, dans des cas particuliers, les choses peuvent se simplifier, et c'est
précisément sur un cas de cette nature que nous voudrions appeler l'at-
l'attention ici...
Avant d'aller plus loin, considérons le développement de la
fraction continue suivant les puissances descendantes de z...
, % 5?, «2, ^ 5?] := 0,
ce qui revient à dire que les racines de P2n(s) = 0 séparent les racines
de Q2n(s) = 0...
Les racines de Q2n+2n+iU0 : £ = 0 sont séparées par celles de
Les racines de Q2n+2n'-f i(£) = 0 sont séparées par celles de
Pour nf = 0 ou = 1 on retrouve les propositions du n° 3...
d'où
ces expressions donnent lieu à la conséquence suivante:
La forme quadratique
m —1 m —1
o o
est une forme définie et positive, en sorte que le déterminant
Cp + 1 Cp+2 Cp+3
-m —1 OpJr2m — 2
est positif...
Peut-il arriver que plusieurs a soient égaux, qu'on ait par
exemple
fa étant < fa + i, hk+i+i > Ajfc_|_i? Il faut d'abord remarquer que i sera
nécessairement fini puisque la série
est convergente...