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Selected papers of Richard von Mises (Vol. 2, Probability and Statistics, General) (1964)(600dpi)(T)(577s).djvu |
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Size 7.2Mb Date Jun 2, 2006 |
Po = V - A bei monotonem I(m) an, so erhalt man den Satz:
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RICHARD VON MISES, SELECTA II
Besitzt die Dijjerenz zweier Verteilungen Vex) - A (x), die in den
Momenten bis zur m-ten Ordnung ubereinstimmen, nicht mehr als m Zeichen-
wechsel und ist hinter dem letzten Zeichenwechsel Vex) < A (x), so gilt jur
eine Funktion j(x), deren m-te Ableitung mono ton verliiujt(2):
( 8 ) fj dV < fl dA wenn j (m) { n cht zun mmt
>, nlcht abnlmmt...
Aber selbst wenn man von
dieser Erweiterung absieht, kann man offenbar eine Funktion I(x), die der
neuen Bedingung geniigt, an einer Stelle, an cler f(x) > F(x) ist, stetig so
variieren, dass diese Eigenschaft erhalten bleibt, wahrend die m-te Ableitung
sich beliebig verandert...
Es gilt also (18') fiir die betreffenden Momente
M n und man gelangt so zu den Ungleichungen, die ich 1 31 angegeben
habe(9) und die sich auch als Beziehungen zwischen den Koeffizienten
algebraischer Gleichungen mit lauter reellen Wurzeln deuten lassen...
Anstelle der quadratischen Form (20) wahlen wir jetzt
f k-l
Ql = x(u o + ulx + U 2 X 2 + ...
Der eben ausgesprochene Satz gewahrt auch einen Einblick in das
gegenseitige Verhaltnis der Momentenlinien van A'(x) und A"(x)...
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RICHARD VON MISES, SELECTA II
Bezeichnet nun I(x) eine Funktion, deren dritte Ableitung monoton
verlauft, so hat man nach (I):
(f) = fl(X)dV(X) 5 At/(a t ) + A 2 /(a 2 )
fur I'" ( x) { n ch t zunehmend
nlcht abnehmend...
Grossere mathematische Schwierigkeiten weist nur eine Aufgabe
auf: Die asymptotische Bestimmung der wahrscheinlichsten Besetzung bei
unendlichen n und k...
Man
kann aus k Figuren auf ( ;) Arten s Figuren fUr den ersten Platz aus-
wahlen, dann lassen sich die iibrigen k - s Figuren auf die iibrigen n - 1
Platze auf (n - 1 )k-S Arten verteilen...
Endlich hat
man in (9) statt ( ; ) auf der linken Seite und statt den( ; ) auf der rechten
(:) bezw...
Es
ist zunachst
s m) n! k!(n-m)k-m8 [ (k-S)!S!n'1 m
(15) a;' = nm(n _ m)! (k - ms)! (s !)mnk kl en - l)k--; J ·
Der erste Bruch rechts nahert sich, wenn m fest bleibt, mit wachsen-
dem n offensichtlich der Einheit...
Die Nebenbedingung
(23') ist die gleiche, die in der elementaren Quantenstatistik auftritt (k
bedeutet dort die Gesamtzahl der vorhandenen Quanten) (9)...
Das Hauptinteresse bei alIen Auf-
gaben, die mit einer Aufteilung zusammenhangen, richtet sich auf die
Ermittlung derjenigen Losung Xo, Xl' ...
Fur diese erweiterte Funktion P lasst sich nun in iiberraschend ein-
facher Weise das Maximum angeben...
Die vorstehenden Ergebnisse, die ohne Einschrankung hinsichtlich der
Grossen n und k gelten, werden wir im folgenden auf den Fall unendlich
grosser n und k anwenden...
Wir miissen sowohl
den Ausdruck fiir K in (38) wie die Schranken von R und S in (36') ver-
bessern...
We
assume that on drawing one ball from every urn a black ball appears m
times and a white ball n - m times...
Thus we see that under the condition (2) the sum s tends to 00,
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RICHARD YON MISES, SELECTA II
while the distributions V v(x) are bounded, if n increases infinitely...
Describing means here, in the first place, to find out the relation
which exists between different sequences of events connected in some way,
e.g., a sequence of single games and the sequence composed of sets of those
games or between a sequence of direct observations and the so-called inverse
probability within the same field of observations...
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