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Poincare H. Oeuvres, Tome 1 (seulement 173 pages)(Paris, 1928)(fr)(T)(175s)_M_.djvu |
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Size 1.4Mb Date May 12, 2003 |
Les Q sont des polynômes de degré n au plus en z, et l'on a
Qm=(i-a1)(i-a!)...(î-aB)...
Pour que cette série normale converge pour les valeurs suffisamment grandes
de x, il faut et il suffit que l'expression
tende vers une limite finie pour n infini...
Si cela n'avait pas lieu, on remplacerait cette
droite par un contour fermé, analogue au contour ki du paragraphe précédent
et formé d'un petit cercle et d'une droite parcourue deux fois en sens contraire...
J'ai peu de chose à ajouter sur le cas où deux points singuliers simples a,
et (ij se confondent en un seul point singulier double a,...
Quand le point t décrira un contour de rayon très grand, les trois intégrales
subiront la substitution linéaire
a bj cj
o y o
a' b' j c'j1
Mais en ce qui concerne le point t = oo, les racines de l'équation déterminante
sont — -i —5—i ^ : et par conséquent sont égales, à des entiers près...
Alors l'équation C)
aura toutes ses intégrales régulières tant à distance finie que dans le domaine
du point z = oo...
Soit
S = ea^+bxx>> 9C:)
cette série normale divergente; formons la série
Si = eax*-b*x1- tp(— x)...
, An,
d'une façon arbitraire; il faut qu'il y ait entre elles certaines relations qua-
quadratiques (9)...
J'en suis fâché, mais cette détermination explicite est impossible; on est
obligé de se contenter de procédés d'approximation indéfinie et c'est ce que
j'ai fait en définitive, dans le paragraphe V, en ramenant le problème à la déter-
détermination du groupe d'une équation linéaire, question que j'avais traitée,
quoique d'une façon incomplète, dans le Mémoire cité des Acta mathematica
(t...
Supposons maintenant que a corresponde à un point singulier x = b situé
à distance finie : on a'alors f<(x) et fi(x) étant des fonctions de x, holo-
morphes et $o pour x = b; a, C, y, S étant des constantes; p( et p2 étant les
racines de l'équation déterminante,
ou si : partie réelle de pt ^> partie réelle de p2
{oc— b)Pi-P'fi(x) (a -h yz)-hfi(x)($ -h S*) = o...
S'il n'y a sur la sphère qu'une ou deux de ces valeurs singulières de z, il n'y
a pas de difficulté...
partie de la surface du parallélogramme) que l'on couvre de hachures, et en un
hexagone régulier qui reste blanc...
° Si la substitution (8) change le point t = o en t = oo, et le point t = oo
348 EXTRAIT D'UN MÉMOIRE INÉDIT DE HENRI POINCARÉ...
En effet, nous
avions primitivement douze paramètres :
a p y 8, _
A, B, C2 D2,
A, B, G, D,,
et nous avons trouvé entre ces douze paramètres les sept équations (9), A0),
(,,),(,2)...
Quand x décrit un certain contour fermé, les valeurs finales de ces
intégrales sont données en fonctions linéaires des valeurs initiales par des for-
formules
A ,>(*)+B/(«),
G y(x)
En général, on ne sait pas calculer A, B, C, D...
Mais, appliquées aux
quadrilatères qui ont un sommet sur le périmètre du polygone, ces opérations
conduisent à des quadrilatères nouveaux, que j'annexerai au polygone P de
façon à former un polygone plus grand P'...
On a alors
/<')-2j=b-*<*>' ■
<p(-s) étant holomorphe en z; quand m tend vers l'infini, o(s)'qui est égal
à l'intégrale divisée par 2Jtc tend vers une limite finie, en même temps que
2, devient une série infinie...
Les chemins L que l'on doit suivre pour que y tende vers zéro
avec x sont tous ceux pour lesquels /• et /'8 tendent à la fois vers zéro...
VII, i885, p, i-56) 2a5
Sur les intégrales irréguliéres des équalions linéaires (Acta mathematica, t...
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