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Painleve P. Theses (1887)(fr)(T)(136s).djvu |
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Size 1.7Mb Date Oct 28, 2004 |
on a
t = •*.{<?» h) = &{*)'•
t est donc fonction uniforme de u...
Nous arrivons ainsi à la conclusion suivante : pour
quef(z) soit continuable au delà de AB, il faut et il suffit que f(z)
prenne sur AB une suite de valeurs /,(£), fonction analytique de t...
La condition nécessaire et suffisante pour
que <p(<z) soit continuable au delà du contour s de S, est que ce contour soit
formé de lignes analytiques...
Les deux fonctions /et co peuvent admettre toutes deux le
contour s de S comme coupure essentielle, ou comme coupure artificielle;
ou bien, l'une est continuable au delà d'un segment s sans que l'autre le
soit...
Ainsi, quand la fonction admet dans le voisinage
d'une ligne une infinité de zéros, de pôles ou de points essentiels formant
une suite linéaire, cette ligne est sûrement une coupure essentielle de la
fonction...
La fonction uniforme F(v)'= \jf(z), qui pré-
présente comme coupures les droites A,,B,, joignant - à a H— > est continuable
au delà de ces coupures et de OA...
nent en conséquence sur ABdes valeurs v'(l), v"(l), v' et v" étant des fonctions
analytiques de /...
On peut donc calculer les valeurs au point
(x0, y0, z0 ) de ces dérivées ; si la série de Taylor formée à l'aide de ces valeurs
SUR LES LIGNES SINGULIÈRES DES FONCTIONS ANALYTIQUES...
Par suite,
,
Le seul terme dont l'intégrale ne soit pas nulle est
-—-1-; donc —r~ f F{z)dz = \...
forme
A quelles conditions ce point A existe-t-il? On sait que la figure qui cor-
correspond à s dans la transformation zt = peut coïncider avec la figure
inverse de s par rapport au point A A étant la puissance d'inversion)...
Remarquons toutefois que/, devient infinie aux points P' et
Q', mais de l'ordre de Lz pour z = o ; / {,l " , représente donc bien encore
/, (V), et le raisonnement employé n'est pas en défaut...
Tl s'ensuit qu'on peut trouver S assez petit, pour que, j •]/ \ étant plus petit
que o,
G1(? + iP)-G1(?) = [ô(<? + i)-e(?)][r,'(ô) + s]I
s | étant inférieur à yj, quelle que soit la valeur de cp entre o et 2%...
Par suite, dans un certain intervalle aWb de .v,
le module de ~ [ou de g'(®J\ est supérieur à un nombre [J....
IOI
Déplus, P et Q ne s'annulent pas à la fois sur s; sinon R(x,y), égale à
— L \/P2 + Q2 + Lp, deviendrait infinie en un point du contour «9...
Au cas contraire (et ceci s'applique aussi bien quand s n'est pas convexe),
s'il existe un point a tel qu'en posant zK = la fonction F{ (xi ) = F(.r)
soit holomorphe dans l'aire S, convexe, et dont le contour s< n'a pas de
singularité, F(x) se met sous la forme "Y Pn(—-—)• Le point a existe
toujours, quand il n'y a sur s que deux points At, A2...
Us s'appliquent à toute fonction discontinue sur s, mais
remplissant aux points anguleux les conditions indiquées...
Pour toute valeur de R inférieure à R', la courbe C
est fermée et convexe, et l'on peut trouver un nombre K...
Appliquons la première forme de la série de Lagrange à l'équa-
l'équation
A) G (s) =z — a — al{z) — o,
en faisant
„, ...
sont tels que le point (x -+- at), (y 4- bK), (z + c,)
est extérieur à s' (si x, y, z est compris dans s') ainsi qu'aux sphères
(AA, B*, Ck)...
F' ( x)
Ce qui précède s'applique à la fonction v ;; quand F(x) n'a, dans le
r \X )
plan, qu'un nombre fini de zéros ou de singularités, on en conclut, en inté-
intégrant et en passant du logarithme à la fonction, que F(x) peut se déve-
développer ainsi
¥(x) = {x — «1)Pi{x — a^y*....
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