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Painleve P. Theses (1887)(fr)(T)(136s).djvu |
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Size 1.7Mb Date Oct 28, 2004 |
générale de l'équation ne peut être uniforme que si la courbe F = o est du genre
o ou i...
Traitons maintenant le cas où N n'est pas identiquement nul; F — o est
alors du genre i...
Soit/(-z) une fonction uniforme définie du côté G de L et qui admet cette
ligne pour coupure...
La condition est suffisante; car, AB étant une courbe analytique, comme
la partie réelle de cp(-z) s'annule sur AB, ç(-z) est continuable au delà
deAB...
De part et d'autre de AB, J(z) prend
des valeurs différentes J,(V), J2(z) : quand les points z' et z" situés sur la nor-
normale en 'C à AB de part et d'autre de 'C tendent vers ce point, J,(V) — 32(z")
tend vers lir^fÇÇ)...
Quand <p(s) est continuable au delà de S, la coupure s peut être pure-
purement artificielle ; il arrive, par exemple, que la fonction prolongée est ho-
lomorphe dans le plan...
Quand une fonction F(s) prend sur une coupure AB une suite continue
de valeurs F,(/), la coupure est essentielle au cas où, AB étant une ligne
analytique, F, G) n'admet pas de dérivée d'ordre a...
Par exemple, soit
f(z) une fonction uniforme définie départ et d'autre de Ox, admettant les
points 0 et A de l'axe des x comme points essentiels et les points - et
a
- comme zéros simples...
= a -r-^ + 3 -.—' ( a et 3 désignant deux fonctions de /, mais V' et V, clif-
' ax r dy \ r ° '
férant de —rj, -y^ j-Ce que nous venons de dire s'applique évidemment aux
fonctions Y(x,y, z) de trois variables, qui satisfont à l'équation AV = o...
Si
l'arc BC de s tourne sa convexité vers A, l'arc inverse B, G, tourne sa con-
concavité vers A...
L'expression j — est alors remplacée par
-jzï'\'(z — (f-k)i et les coefficients sont indépendants de la forme de r|...
+ (/}«/,+ l\\
Quand s se réduit à une ligne ouverte donl a et b sont les extrémités, on
sait que les développements B), C), D) subsistent à condition d'y rem-
remplacer x par x, = - \x H h \J(x — a)(a1 — b) : le signe du radical
étant choisi de sorte que xt devienne infinie avec a?, lim \x{ — x\ = 0 pour
x = 00...
Ceci posé, la démonstration est facile dans le cas où s est une ligne ana-
analytique régulière...
Il est même aisé de voir que l'on peut prendre k assez
grand pour que cette condition soit remplie pour toutes les courbes C (si
voisines qu'elles soient de l'origine)...
Par suite, dans un certain intervalle aWb de .v,
le module de ~ [ou de g'(®J\ est supérieur à un nombre [J....
Il faut prouver de plus qu'elles sont convexes el ri1 ont qu'un contact
simple avec leurs tangentes...
On
z — z cil
déduit de là plusieurs conséquences : tout d'abord, soit un segment de courbe AB qui jouit
de la propriété énoncée f -y.- est continue ); si une fonction f(z) prend sur AB des valeurs
\ J
J\( l) admettant une dérivée continue -jy i f' (z)prend sur AB les valeurs -jy- -,- • A l'aide
dï
de la représentation conforme, on ramène ce cas général au cas où AB est un cercle de
rayon i, dans lequel f(z) est holomorphc...
Soit s un contour fermé quelconque (sans angic rentrant) tel que, pour
cP-z
chaque point de s, -^ existe et soit continu...
Dans ce
cas R' = L -=; en changeant x en -> on obtient une forme de dévelop-
pement pour l'aire S extérieure à une ellipse ayant pour foyer ± c et dont
l'excentricité est inférieure à —=...
Les dérivées de
F(x,y, z) s'obtiennent en dérivant les termes de B), ce qui conduit à des
séries de même forme...
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