Shmidt V. Diofantovy priblizhenija (Mir, 1983)(ru)(L)(T)(109s).djvu: eKnigu

Home / lib / M_Mathematics / MT_Number theory /

Shmidt V. Diofantovy priblizhenija (Mir, 1983)(ru)(L)(T)(109s).djvu

Size 3.4Mb
Date Jan 16, 2005

Таким образом, в этом случае рассматриваемая система
тае является общей системой Рота...
Поэтому для одного из этих подпространств,
скажем Wj, неравенства B.10) имеют решения х в Wj для про-
произвольно больших значений Q...
Тогда kk^Q-6 и существует число d,
— I, для которого
C.4) 7
Найдутся подпоследовательность х/,, х/2, .....
Ясно, что многочлен Р одно-
однороден степени rh по переменным Xhl, Xh% (l^h^m)...
Положим
Тогда для у, б е /С
E.2)
Если, например, 6 =
| г/[...
rm) (l^i^t);
чисел а,;
~Гт, где постоянная D зависит только от
: Доказательство...
Тогда существует многочлен
/'еШ, РФ0, с целыми рациональными коэффициентами, обла-
обладающий следующими свойствами:
(i) P однороден степени rh no переменным Xhx, ..,, Хш
(lft)
Dri+
где D зависит
(ii) выполняется оценка \P
только от чисел а/,-;
(iii) если для любого 3 записать (единственное) представление
G.2) I* - ? *3 (/и...
Поэтому c^(jiv ..., /ш)^"-^™ как многочлен от перемен-
переменных Д имеет коэффициенты с абсолютной величиной, не боль-
большей чем BDnG)ri + "' + rm...
Сетки
141
Тогда если многочлен Р и все его частные производные
обращаются в нуль на Г, то Р обращается в нуль тождественно
на подпространстве Нд...
Следовательно, будет достаточно показать, что
для уЛеГ4 A<А^/п) и
удовлетворяющих условиям
, ..., vm) = 0,
(9.7)
когда C/г)<2е/пи vfteTft (
Левую часть (9.7) можно представить в виде
(9.8)
j
Ввиду неравенств (9.3), (9.4) и (9.6), имеем
(9.9)
откуда
...
Пусть, далее, Р^Ш, РФО,— многочлен с целыми рациональ-
рациональными коэффициентами, однородный степени rh no переменным
и
A0.5)
Тогйа индекс многочлена Р относительно набора (Мг Мт;
г\, ......
(Постоян-
(Постоянные в <J здесь и далее до конца параграфа зависят только от
Llt ..., Ln.) Так как |с,-|<;1 я точки а*, ..., а| линейно-незави-
линейно-независимы, получаем, что gk
1—в<" —!>...
Однако окажется, что теорема 12А
цает нам все, что необходимо...
На основании этой
теоремы заключаем, что многочлен Р имеет индекс не меньше тг
относительно набора (Мъ ..., Мт; гъ ..., гт)...
Всегда будем считать, без специальных
г оговорок, что <pi — тождественное отображение, так что аA) = а,
си называть числа аA) = а, а'2', ..., ak сопряженными с а...