Kurosh. Kurs vysshej algebry (1968) (ru)(T)(431s).djvu: eKnigu

Home / lib / M_Mathematics / MA_Algebra / MAt_Algebra textbooks /

Kurosh. Kurs vysshej algebry (1968) (ru)(T)(431s).djvu

Size 6.0Mb
Date Mar 3, 2004

Действительно, пусть симметрическое преобразование <р задается
в ортонормированной базе ех, ег, ..., еп матрицей A=(aif)...
Здесь впервые будет использована симметричность (дей-
ствительной) матрицы А...
Если а — собственный вектор преобразова-
ния ф, относящийся к этому собственному значению, то и всякий
ненулевой вектор, пропорциональный вектору а, будет для ф соб-
ственным вектором,, относящимся к тому же собственному значению
%0, так как
(си) ср = а (аф) = а (%йа) = Хо (аа)...
Оно будет даже симметрическим преобразованием пространства L,
так как равенство A), выполняясь для любых векторов из Еп, будет
выполняться, в частности, для векторов, лежащих в L...
Этому результату можно придать также матричную формулировку:
Какова бы ни была ортогональная матрица, приводящая
к диагональному виду симметрическую матрицу А, на главной
диагонали полученной диагональной матрицы будут стоять ха-
рактеристические корни матрицы А, взятые с их кратностями...
Такую систему решений ищем методами, известными из
§ 12, а затем ортогонализируем и нормируем полученную систему
в соответствии с § 34...
Ранг этой системы равен 1, и поэтому для нее можно найти три линейно
независимых решения...
Пусть существует невырожденное линейное преобразование
.....
определение в § 35) переводит сумму
квадратов неизвестных ух, у2, ..., уп в сумму квадратов неиз-
вестных zv z-i, ..., zn...
Сейчас
мы выведем для кубичных уравнений формулу, аналогичную фар-
муле для квадратных уравнений, причем сразу допустим, что ко-
эффициенты являются любыми комплексными числами...
Решая уравнение (8), мы получим:
откуда х)
Мы приходим к следующей формуле Кардано, выражающей корни
уравнения C) через его коэффициенты при помощи квадратных
и кубичных радикалов:
Так как кубичный радикал имеет в поле комплексных чисел три
значения, то формулы (9) дают три значения для а и три для р...
Пусть ах будет действительное значение радикала а;
тогда значение Pj радикала Р, соответствующее <хх на основании
формулы E), также будет действительным ввиду действительности
числа р...