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Size 1.4Mb Date Aug 13, 2004 |
1.8. Modules Si A est un anneau, un A-module est un groupe abelien M muni d’une loi ´ externe A M ! M qui verifie exactement les memes axiomes que ceux d’un ´ ˆ 0 espace vectoriel : pour tous m et m dans M et pour tous a et b dans A, on a – 1m = m ; – associativite : (ab)m = a(bm) ; ´ – distributivite : (a + b)m = am + bm et a(m + m0 ) = am + am0 . ´ Un homomorphisme de A-modules f : M ! N est une application telle que pour tous m et m0 dans M et pour tous a 2 A, on ait : – f (m + m0 ) = f (m) + f (m0 ) ; – f (am) = af (m). (C’est l’analogue pour les modules des applications lineaires entre espaces vec´ toriels.)...
Demonstration. — Si I = (0), n = 0 convient. ´ Supposons maintenant I 6= (0). Si I = (n), on constate que les elements ´´ strictement positifs de I sont fn; 2n; 3n; : : :g et que n est le plus petit d’entre eux — ce qui montre l’unicite d’un eventuel entier n comme dans l’enonce. ´ ´ ´ ´ . Notons donc n le plus petit element de I \ N Comme n 2 I, an 2 I pour ´´ tout a 2 Z et (n) I. Reciproquement, soit a est un element de I. La division ´ ´´ euclidienne de a par n s’ecrit a = qn + r, avec q 2 Z et 0 Ä r Ä n 1. Comme a 2 I ´ et comme qn 2 I, r = a qn appartient a I. Comme n est le plus petit element ` ´´...
et pour le produit, ~(a=b)~(c=d)) = Ã Ã Ã(a) Ã(c) Ã(a)Ã(c) Ã(ac) = = = ~(ac=bd) = ~((a=b)(c=d)): Ã Ã Ã(b) Ã(d) Ã(b)Ã(d) Ã(bd)...
Enfin, '(a=s)'(b=t) = f (s) 1 f (a)f (t) 1 f (b) = f (st) 1 f (ab) = '(ab=st) = '((a=s)(b=t)): L’application ' est donc un homomorphisme et le theoreme est demontre. ´` ´ ´ On peut enfin construire l’anneau localise comme un quotient. ´ Proposition 3.2.8. — Soit A un anneau, a un element de A et S = f1; a; a2 ; : : :g la ´´ partie multiplicative de A formee des puissances de a. L’homomorphisme canonique ´ ' : A[X] ! S 1 A; est surjectif, de noyau l’ideal (1 ´ P 7! P(1=a) aX). Il en resulte un isomorphisme ´ aX) ' S 1 A:...
sont possibles, si bien que l’image de ' est formee des polynomes dont le terme ´ ˆ de degre 1 est nul. Notons A = ='. C’est un sous-anneau de K[X] qui est integre, ´ ` donc A est integre. ` Son corps des fractions est un sous-corps de K(X). Pour montrer que c’est K(X) lui-meme, il suffit de montrer que X y appartient. Or, X = X3 =X2 = '(U)='(V). ˆ Solution de l’exercice 3.3.5. — a) Soit a=s et b=t deux elementsde S 1 A de produit ´´ nul. Il existe ainsi u 2 S tel que u(ab) = 0. Comme A est integre et u 6= 0, ab = 0. ` Ainsi, a = 0 ou b = 0 et donc a=s = 0 ou b=t = 0. L’anneau S 1 A est integre. `...
on a 0 2 Is pour tout s 2 S, donc a fortiori 0 2 I. Ensuite, si a 2 I et b 2 I, choisissons s et t 2 S tels que a 2 Is et b 2 It . Que I soit totalement ordonnee ´ implique que Is It ou It Is . Dans le premier cas, on a donc a 2 It si bien que a + b 2 It et donc a + b 2 I. Dans le second cas, on a de meme a + b 2 Is I. ˆ Enfin, si a 2 I et b 2 A, soit s tel que a 2 Is . On a ab 2 Is et donc ab 2 I. Ainsi, I est bien un ideal de A ; il contient tous les Is . Reste a montrer qu’il appartient ´ ` a I c’est-a-dire que I 6= A. Or, si I = A, on aurait 1 2 I ; il existerait alors s 2 S ` ` tel que 1 2 Is ce qui impliquerait Is = A. Cette contradiction montre que I 6= A. Le lemme de Zorn implique alors que I possede un element maximal. Soit ` ´´ m un tel element. C’est un ideal maximal : si I est un ideal contenant m et ´´ ´ ´ distinct de m, on ne peut avoir I 2 m puisque m est suppose maximal dans I . ´ Donc I 62 I , ce qui signifie I = A.
(1)...
est surjectif. Son noyau J est un ideal maximal puisque  induit un isomorphisme ´ C[X1 ; : : : ; Xn ]=J. Il est clair que J contient les polynomes X1 a1 , . . ., Xn an . Reciproquement, ˆ ´ si P 2 J, c’est-a-dire si P(a1 ; : : : ; an ) = 0, effectuons la division euclidienne de P ` par X1 a1 en raisonnant dans C[X2 ; : : : ; Xn ][X1 ]. Il existe alors des polynomes ˆ Q et R dans C[X1 ; : : : ; Xn ] tels que P = (X1 a1 )Q + R et le degre de R en ´ X1 est nul, c’est-a-dire que R ne depend pas de X1 . Alors, R(a2 ; : : : ; an ) = 0 et ` ´ par recurrence, R appartient a (X2 a2 ; : : : ; Xn an ). Par suite, P appartient a ´ ` ` (X1 a1 ; : : : ; Xn an ). Ainsi, J = (X1 a1 ; : : : ; Xn an ) et  induit un isomorphisme C[X1 ; : : : ; Xn ]=J ' C ce qui prouve que J est maximal. Enfin, l’unicite de la famille (a1 ; : : : ; an ) 2 Cn provient du fait que les ideaux ´ ´ (X1 a1 ; : : : ; Xn an ) sont maximaux. Si en effet X1 b1 appartient a l’ideal ` ´ maximal I = (X1 a1 ; : : : ; Xn an ), on a alors b1 a1 2 I. Si b1 6= a1 , b1 a1 est inversible, I = C[X1 ; : : : ; Xn ] ce qui est absurde. Donc b1 = a1 . Ce theoreme est a la base d’une correspondance admirable entre certains ´` ` ideaux de C[X1 ; : : : ; Xn ] et certaines parties de Cn . ´...
Soit S et S0 deux parties de C[X1 ; : : : ; Xn ]. Soit T = fPP0 ; P 2 S; P0 2 S0 g. On va montrer que Z (S) [ Z (S0 ) = Z (T). Si en effet (a1 ; : : : ; an ) 2 Z (S) et Q 2 T, on peut ecrire Q = PP0 avec P 2 S et P0 2 S0 . Alors, Q(a1 ; : : : ; an ) = ´ 0 Z P(a1 ; : : : ; an )P (a1 ; : : : ; an ) = 0 puisque (a1 ; : : : ; an ) 2 Z (S). Autrement dit, Z (S) (T). De meme, Z (S0 ) Z (T) et donc Z (S) [ Z (S0 ) Z (T). Reciproqueˆ ´ ment, soit (a1 ; : : : ; an ) 2 Z (T). Pour montrer que (a1 ; : : : ; an ) 2 Z (S) [ Z (S0 ), il suffit de montre que si (a1 ; : : : ; an ) 62 Z (S0 ), alors (a1 ; : : : ; an ) 2 Z (S). Or, si (a1 ; : : : ; an ) 62 Z (S0 ), il existe un polynome P0 2 S0 tel que P0 (a1 ; : : : ; an ) 6= 0. Alors, ˆ 0 0 pour tout P 2 S, PP 2 T, d’ou (PP )(a1 ; : : : ; an ) = 0 = P(a1 ; : : : ; an )P0 (a1 ; : : : ; an ) ` et donc P(a1 ; : : : ; an ) = 0, ainsi qu’il fallait demontrer. ´...
Demonstration. — a) Soit P 2 I et montrons P 2 I (Z (I)). Pour cela, il faut ´ montrer que P s’annule en tout point de Z(I). Or, si (a1 ; : : : ; an ) 2 Z (I), on a P(a1 ; : : : ; an ) puisque P 2 I....
Par suite, '(r) < '(b). La proposition precedente implique donc que Z[i] est un anneau principal. ´´...
les decompositions en facteurs irreductibles de a et b. On definit ´ ´ ´ Y in(si ;ri ) Y ax(si ;ri ) pgcd(a; b) = m et ppcm(a; b) = m : i i
i i...
Fin de la demonstration de la proposition. — Ces deux lemmes montrent que p est ´ irreductible dans Z[i] si et seulement si p Á 3 (mod 4), ce qui etablit deja le ´ ´ ´` troisieme alinea du theoreme. ` ´ ´` Si p Á 1 (mod 4), p n’est pas irreductible dans Z[i]. Soit un diviseur irre´ ´ ductible de p. Alors, est aussi un diviseur irreductible de p : d’une factorisation ´ p = z, on en deduit une autre p = z. De plus, et ne sont pas associes. ´ ´ (En effet, si = , 2 Z, donc est un entier non inversible qui divise p, c’est-a-dire = p, ce qui est absurde puisque p n’est pas irreductible dans Z[i]. ` ´ Si = "i avec " = 1, ecrivons = a + ib, = a ib et a + ib = "i(a ib), ´ d’ou a = "b, ` = (1 + i")a et N( ) = 2N(a) est pair alors qu’il doit diviser 2 N(p) = p .) Par suite, divise p. Soit a 2 Z[i] tel que p = a . On a alors 2 2 p = N( )N(a) = N( ) N(a) et N( ) 6= 1. Donc N( ) = p, N(a) = 1 et a est inversible dans Z[i]. Comme est un entier strictement positif, on a en fait a = p= > 0, d’ou a = 1. Le theoreme est donc demontre. ` ´` ´ ´ Preuve du lemme 5.3.5. — On commence par remarquer que le noyau du morphisme d’anneaux Z[X] ! Z[i] donne par P 7! P(i) est l’ideal (X2 + 1). Cet ´ ´ ideal est manifestement contenu dans le noyau de cet homomorphisme et re´ ´ ciproquement, si P 2 Z[X] verifie P(i) = 0, la division euclidienne de P par le ´ polynome unitaire X2 + 1 s’ecrit ˆ ´ P = (X2 + 1)Q + R; Q 2 Z[X]; R = a X + b; (a; b) 2 Z2 : Par suite, P(i) = ai + b = 0 et a = b = 0, donc R = 0 et P 2 (X2 + 1). On en deduit des isomorphismes ´ Z Ð Z[i]=(p) ' [X]=(X2 + 1) =(p) ' Z[X]=(p; X2 + 1) Z Ð ' [X]=(p) =(X2 + 1) ' Fp [X]=(X2 + 1)...
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