Horn, Dzhonson. Matrichnyj analiz (ru)(T)(666s).djvu: eKnigu

Home / lib / M_Mathematics / MA_Algebra / MAl_Linear algebra /

Horn, Dzhonson. Matrichnyj analiz (ru)(T)(666s).djvu

Size 9.7Mb
Date Dec 18, 2004

Проверить, что функция ||-|1г является вектор-
векторной нормой на пространстве С"...
) Манхеттен — один нз районов Нью-Йорка с прямоугольной планиров-
планировкой (подобно шахматной доске).—Прим...
Например, легко
видеть, что сумма векторных (полу) норм является векторной
(полу) нормой, так же как и произведение векторной полу (нор-
(нормы) на положительное число...
Предположим, что функции f{, i=l, 2, удо-
удовлетворяют следующим условиям:
(a) положительность: f{(х)^0 для всех jceF; ft(x) = 0
тогда и только тогда, когда х = 0;
(b) абсолютная однородность: ft (ах) = [ а | /((х) для всех oeF
и всех х е V;
(c) непрерывность: ft (x (z)) непрерывна на F™, где
z = [г, znf еР и Х(г)вш z,xW + .....
Но любой вектор х е У можно представить в виде х =
= x(z) для некоторого z e F", потому что система $ образует
базис; таким образом, требуемые неравенства верны для всех
векторов к е V...
Чаще нужно определить, сходится ли вообще данная по-
последовательность {x(ft)} хоть к какому-нибудь вектору...
Его называют свойством пол-
полноты поля вещественных или комплексных чисел, и мы только
что показали, что свойство полноты распространяется на конеч-
конечномерные вещественные или комплексные векторные простран-
пространства с любыми нормами...
E.4.12а)
Наконец, необходимо отметить, что функция fD действительно
заслуживает название двойственной нормы...
Анало-
Аналогично, для любого фиксированного вектора х в соотношении
E.4.14) имеет место равенство, когда у выбирается единичным
334 Гл...
Тогда двойственной к себе окажется
Корма || • || еэ < •, • I/2, порожденная этим скалярным произведением.—
Прим...
= 1
Какую теорему о сходимости рядов с вещественными членами
обобщает это утверждение?
7...
(d) Пусть норма ||-|| совпадает с II-Ць Что представляет со-
собой множество, двойственное к вектору х==[0,1]т по отноше-
отношению к норме ||-Hi?
(e) Пусть х — заданный ненулевой вектор и вектор у яв-
является двойственным к нему по отношению к норме ||-||- Пока-
Показать, что вектор х будет двойственным к вектору у по отношению
к норме ||-W0...