Chambert-Loir A. Algebre corporelle (draft, 2003)(fr)(T)(146s).djvu: eKnigu

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Chambert-Loir A. Algebre corporelle (draft, 2003)(fr)(T)(146s).djvu

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Date Oct 27, 2004

Si X est fini, son cardinal est en particulier la somme des cardinaux
des orbites des X{, c'est-à-dire
,-.,¥—> -, x—' card G
cardX = > card 0x...
Groupe symétrique, alterné
Rappelons que &n désigne le groupe des permutations de l'ensemble
{1;2;.....
Or, g~xhg est une matrice qui a mêmes valeurs
propres que h et il n'y a qu'un nombre fini de telles matrices dans H...
?
Nous pouvons maintenant démontrer la partie du théorème 1.4.9 que nous
avions laissée en suspens : si p est un nombre premier de Fermât (c'est-à-dire
si p — 1 est une puissance de 2), le polygone régulier à p côtés est constructible...
Avant de passer à la démonstration, rappelons la théorie de Galois des exten-
extensions radicales élémentaires...
Comme [Ei : E] divise [F : E] et comme E contient une
racine primitive de l'unité d'ordre [Ei : E], la proposition précédente affirme que
l'extension EcEi est galoisienne, de groupe de Galois cyclique...
a) Montrer que l'extension composée EF est l'extension de décomposition du
polynôme X3 - 2 sur Q...
Pour n = 1, le résultat
est évident (l'hypothèse et la conclusion signifient juste que Yi ^ 0)...
Comme L est engendré sur K par les composantes des Yy et comme
c|k = idK, on a a (y) = y pour tout y G L, ce qui prouve a = id...
On a besoin pour cela d'un
lemme concernant les extensions différentielles
engendrées par une exponentielle ou un loga-
logarithme...
Pour que la somme de tous ces termes soit un
élément de K, il faut donc a) que V soit un polynôme; b) que chaque TCj(t)' = 0,
c'est-à-dire Tïj{t) constant, donc dans C...
a) On a R = C[X, Yi,Y2/ Y[, Y2] muni de l'unique dérivation telle que (Y;-)' =
^ et (Y})' = -Yy...