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Lagrange J.L. Oeuvres, Tome 12 (Gauthier-Villars 1889)(fr)(600dpi)(T)(401s).djvu |
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Size 7.5Mb Date Oct 21, 2005 |
coordonnées Ç> y), £ de l'article 1 satisfont à la condition primitive que la
distance entre deux points quelconques du système demeure inva-
invariable» En effet, si $, y), Ç sont les coordonnées d'un de ces points, et
£4> Y),, Ç, les coordonnées d'un autre point, le carré de leur distance
sera exprimé par
et si Ton désigne par ai9 bi9 c, les coordonnées relatives aux axes des
a, 6, c pour le second point, on aura les valeurs de £,, y){, l{ en chan-
changeant a, b, c en a,, bu c, dans celles de £, y), Ç...
Mais cette réduction se simplifie beaucoup en employant les sinus
et cosinus d'angles; on peut même y parvenir directement par les
transformations connues des coordonnées...
Comme les quantités £', y)', £' sont des valeurs particulières de
£, yj, Ç, elles doivent satisfaire aux équations différentielles de l'ar-
l'article 1 entre ces dernières variables; ainsi Ton aura
dÇ' = ÇdM - V rfN, rftj' = S'rfN - C </L, dC' = tj' rfL - ? dM,
et Ton aura de même
d£" = Ç" dM - yî" dN, d/î" == ^ dN - Ç" dL, dÇ" = n" dh - Çff dM,
d? = r dM - rj^dN, drj^ = ^dN - r dL, dÇ*= Y)"dL - ^rfM...
On voit par là que les quantités dL9 dM, dN répondent exactement
aux angles de rotation que nous avons dénotés par dty, dco9 df dans la
Section que nous venons de citer, et que nous avons conservés dans la
Section III ci-dessus...
En ayant ensuite égard aux trois autres équations de condition de
l'article 5, et supposant les valeurs de dPt dQ, dR données ci-dessus,
ces trois équations deviennent
cdQ — T>dRz=o, adR — cdP — o9
auxquelles satisfont évidemment les valeurs a, b, c données ci-dessus...
Pour employer ici cette méthode de la manière la plus générale
et la plus simple, on supposera, ce qui est le cas de la nature, que
chaque particule Dm du corps soit attirée par des forces P, Q, R,
proportionnelles à des fonctions quelconques des distances p, q, r, .....
Commençons donc par mettre dans l'expression de T, à la place
de oc, y, *, ces nouvelles variables x'-\- £, y-+- ty• s'~h Ç, et, faisant
sortir hors du signe § les x\y\ z\ qui sont les mêmes pour tous les
ttS MÉCANIQUE ANALYTIQUE...
Or, les quantités a, b9 c étant ici les seules variables, relativement
à la position des particules Dm dans le corps, il s'ensuit que, pour
avoir la valeur de S(^2~*~ dr\2-h d£2)Dm, il n'y aura qu'à multiplier
chaque terme de la quantité précédente par Dm et intégrer ensuite
relativement à la caractéristique G, en faisant sortir hors de ce signe
les quantités rfP, rfQ, rfR, qui en sont indépendantes...
leurs valeurs en 8P9 SQ, 8R; ainsi, puisque
(*} Ce paragraphe eït un de ceux qui n'ont pas été reproduits tels qu'ils étaient dans la
première édition ; les résultats auxquels on parvient sont absolument les mêmes, mais la
rédaction est simplifiée par le renvoi à l'article 15, qui ne se trouve pas dans la première
édition...
)
|S4- yî'4- Çs) Dm = §(«*+ 6l-h cs) Dm
sera égal à une constante que nous désignerons par E...
disparaîtront, et, par
conséquent, l'effet de la gravité sur la rotation sera nul, comme dans
le cas précédent...
Dans le second cas, on prendra le point fixe de suspension pour le
centre du corps, et, supposant les coordonnées z verticales et dirigées
de haut en bas, on aura (art...
toute l'équation par/aw — [\kh et tirant la racine carrée, on aura
enfin
ABCrfu
2 \l— [BCw -2A2(B + C) h-/1] [ACw — 2 /i*(A + C) H-/1] [ABa- 2 A*(A ■+- B) h-/1]
d'où l'on tirera par l'intégration / en u, et réciproquement...
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