Lagrange J.L. Oeuvres, Том 02 (Готье Виллар 1868) М. , Lagrange J.L. Oeuvres, Tome 02 (Gauthier-Villars 1868)(fr)(600dpi)(T)(733s)_M

Lagrange J.L. Oeuvres, Том 02 (Готье Виллар 1868) М.

Lagrange J.L. Oeuvres, Tome 02 (Gauthier-Villars 1868)(fr)(600dpi)(T)(733s)_M_.djvu

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Date Apr 29, 2005

Cites: De cette manière on pourra trouver une suite d'équations telles
que
A A, == a2 — B,
dans lesquelles on ait (en considérant les nombres a, alf a2,..., A, A,,
A A A
A2,.....
jusqu'à un terme égal ou moindre que B, cependant, si l'on en trouve un
qui, étant encore plus grand que B, soit en même temps carré ou mul-
multiple d'un carré, mais tel, qu'étant divisé par le plus grand carré qui le
mesure il laisse un quotient égal ou moindre queB, alors on pourra s'ar-
s'arrêter à ce terme...
En suivant toujours le même procédé, on trouvera cette suite
d'équations principales
DU SECOND DEGRÉ...
Ces Exemples peuvent suffire pour faire connaître l'esprit et l'u-
l'usage de notre méthode...
Soit donc proposée l'équation
dans laquelle p et q doivent être des nombres entiers et premiers entre
eux...
MO SUR LA SOLUTION DES PROBLÈMES INDÉTERMINÉS
lions possibles, il est nécessaire de connaître tous les nombres a qui,
étant < —» sont tels que oc2 — B soit divisible par A, et d'examiner en
particulier chacune des équations A, = /?2 — B</2 qui en résulteront...
SUR LA SOLUTION DES PROBLÈMES INDÉTERMINÉS
tient trois facteurs premiers ou qui soient des puissances quelconques de
trois nombres premiers, il ne pourra y avoir que quatre valeurs de », et
ainsi de suite; d'où il s'ensuit en général que, si le nombre des facteurs
premiers de A est /i, soit que ces facteurs soient des nombres premiers
ou des puissances quelconques de nombres premiers, le nombre des va-
valeurs de « sera ou nul, ou égal à in~K...
Ainsi, si A est un nombre premier ou une puissance quelconque d'un
nombre premier autre que 2, l'équation
A = p2 h- bq7
ne pourra avoir qu'une seule solution en nombres entiers (voyez plus
haut le n° 24)...
Ainsi la question se réduit à résoudre ces deux équations dans lesquelles
DE < B ; en effet, les valeurs de p, 7, r et s étant connues, on aura celles
de/?*, qn,pn+i> Çn+i> et Ton pourra a l'aide des formules (y) remonter
aux valeurs de/> et g...
et qu'on continue toujours de diviser le reste précédent par le dernier
reste jusqu'à ce que l'on arrive à une division exacte, et qu'on nomme a,
/3, 7, c?,..., g* les quotients qui en résultent, on aura, comme on sait,
r
~ — oc ~\~ ■
où Ton remarquera qu'à cause que les nombres r et s sont premiers entre
eux le dernier reste sera nécessairement l'unité, et par conséquent le
dernier quotient sera plus grand que l'unité, de sorte qu'on aura w = 2
ou > 2...
On résoudra de même le cas où ce serait le signe inférieur qui devrait
avoir lieu, et Ton en conclura qu'il est toujours possible de trouver des
nombres rJf r2, r:t,.....
seront absolument détermi-
déterminés, de sorte que, les nombres E et e étant connus, tous les autres le se-
seront aussi par le moyen des formules (x), (X) et (fi)...
Et d'abord il est clair, par ce qu'on a enseigné C3), que cette série
peut être poussée aussi loin que l'on veut, parce que les opérations par
lesquelles les nombres E4, E2, E3,..., e,, e2, s3,.....
Car E4 et E3 étant donnés, s3 le sera
aussi; par conséquent X3 sera aussi donné, à cause que, X3 devant être
entier, on ne pourra prendre pour X3 que le nombre entier qui sera immé-
immédiatement moindre que —^——, ayant ainsi X3, on aura s2 parla formule
g3 — X3E3— £2, savoir e2 = X3 E3 — e3>
et ensuite E2 par l'équation
E2 E3 = B — £3»
or, E2 et s2 étant donnés, X2 le sera aussi, parce que l'on ne pourra
prendre pour X2 que le nombre entier qui sera immédiatement moindre
que —r;—> et ainsi de suite...