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Lagrange J.L. Oeuvres, Tome 01 (Gauthier-Villars 1867)(fr)(600dpi)(T)(787s)_M_.djvu |
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Size 12.5Mb Date Sep 25, 2004 |
renfermera plus que les fonctions finies L, M, N qui, à cause de la quantité k
qu'elles contiennent, ne doivent point entrer dans les valeurs de x,y, z,
on trouvera ces valeurs en comparant ensemble tous les termes qui
seront multipliés séparément par L, M, N...
Or, les conditions qui déterminent les constantes de p, q, r étant les
mêmes que celles qui déterminent les constantes de x, y, z, par ce qui
a été dit ci-dessus, elles seront encore les mêmes pour les constantes de
p q\ r7, d'où il s'ensuit qu'on aura aussi pour ol les mêmes valeurs que
pour /3, savoir les mêmes que celles de la quantité — k...
NOUVELLES RECHERCHES SUR LA NATURE
En suivant encore la tnême méthode, on trouvera pour les valeurs de
x, y, z, x\ y\ z' des formules composées de 4> 5, 6,.....
Les quantités S', S",..., S(w) et U', U",..., U(WI) sont mises pour dénoter
les valeurs des expressions
r)M + [z)T$] dX dY dZ et f[(f )
lorsqu'on fait successivement — £ égal à a', a",..., a(m)...
{Voyez les Mémoires de VAcadémie de
Berlin, année 1753.)
ADDITION AUX PREMIÈRES RECHERCHES
LA NATURE ET LA PROPAGATION DU SON...
Ce raisonnement est simple, et ne peut pas avoir échappé au savant
Géomètre dont nous parlons; aussi s'est-il attaché dans la suite à com-
combattre seulement la généralité de ma solution, et à la borner comme la
sienne aux courbes assujetties a la loi de continuité...
d'Alembert lui-
même le dit dans le § X; qu'ainsi, en ne faisant varier que t, la valeur de
d2y sera, suivant la construction de M...
° Sans m'embarrasser de la valeur, quelle qu'elle soit, du rayon oscu-
d2 y
lateur en A et B, je considère que le -^-p qui répond exactement à ces
points, est toujours nul de lui-même, suivant ma construction, comme
on l'a fait voir plus haut...
Les vibrations qui suivront
les premiers instants, et qui sont les seules qu'il nous importe de con-
connaître, seront donc toujours régulières et isochrones, et leur durée ne
dépendra en aucune manière de la figure primitive, mais seulement de
la tension, de la longueur et de la grosseur de la corde, comme on Vu
démontré (XLVI), ce qui suffit pour expliquer pourquoi une corde
frappée d'une manière quelconque rend toujours le même son...
Par des procédés semblables, on trouvera l'expression de ô / Z lorsque
LES MAXIMA ET LES MINIMA, ETC...
que l'intégration relative à x; soit donc prise l'intégrale
où x seul varie, il est facile de la transformer par des intégrations par
parties en
/u - d z,
y] I -h p2 -+■ q2
ce qui se réduit, en supposant les premiers et les derniers z donnés, à
C ri P
la différentielle de £—~ étant prise en variant seulement x...
/j —j-: dxàdx -+- dràdy
è sjdx2 -+- dy2 = ' -— = o,
Sjdx2 H- dy2
c'est-à-dire
dx à dx -\- dyà dy = o
et
substituant cette valeur de iïdœ dans l'équation précédente, elle devien-
deviendra celle-ci :
Qu'on mette au lieu de àdy son égale dày, et qu'on fasse, pour abréger,
1 , ydy i dy2
2 dx i dx
on aura la formule zdiïy qu'il faudra intégrer par parties, afin de faire
disparaître la différence de $y...
b, savoir m = b,
c'est-à-dire, en substituant pour s et m leurs valeurs,
1 , kdr i , kdx ...
Il Ta aussi résolu pour les deux cas des coordonnées rec-
rectangles et des rayons partant d'un centre fixe...
sa valeur tirée de l'équation (U), et de réduire ensuite les différences
àp, àq, èr,...9 dp',àq>,..., a/, a/',..., àg,...,
aux différences
d.r, oy, oz, ox', dy'9...,
par une méthode analogue a celle que l'on a pratiquée dans le Problème
précédent; après quoi, si chaque corps est entièrement libre, en sorte
que toutes les différences Sx, dj, 8z, 8<r'9 dy',..., demeurent indéter-
indéterminées, on fera chacun de leurs coefficients égal à zéro, et l'on aura trois
fois autant d'équations qu'il y a de corps, lesquelles, prises ensemble,
suffiront pour déterminer toutes les vitesses et les courbes cherchées;
mais si un ou plusieurs de ces corps sont forcés de se mouvoir sur des
courbes ou des surfaces données, et qu'ils agissent de plus les uns sur
les autres, soit en se poussant, soit en se tirant par des fils ou des verges
inflexibles, ou de quelque autre manière que ce soit, alors on cherchera
les rapports qui devront nécessairement se trouver entre les différences
$.r, $y, iïz, 8x\ r\y',......
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