Lagrange J.-L. Mecanique analytique (1788)(fr)(T)(522s)_M

Lagrange J.-L. Mecanique analytique (1788)(fr)(T)(522s)_M_.djvu

Size 5.6Mb
Date Jul 24, 2003

On égalera alors féparément à zéro chacune des quantités
affe&ées des différentes variations , comme fi ces variations
étoient toutes indépendantes & arbitraires...
Cependant comme ces équations peuvent avoir différentes
formes plus ou moins limples, Se fur-tout plus ou moins
propres pour l'intégration, il n'eft pas indifférent fous quelle
forme elles fe préfentent d'abord; Se c'eft peut-être un des
principaux avantages de notre méthode , de fournir toujours
les équations -de chaque problême fous la forme la plus
iimple relativement aux variables qu'on y emploie, & de
mettre en état de juger d'avance quelles font les variables
dont l'emploi peut en faciliter le plus l'intégration...
Enfin on pourra employer à volonté d'autres fubftitutions ;
& lorfque le fyftême eft compofé de plufieurs corps, on
pourra les rapporter immédiatement les uns aux autres par
des coordonnées relatives; les cîrconftances de chaque pro-
problême indiqueront toujours celles qui feront le plus propres...
A l'égard des intégrales qui fe rapportent à la conferva-
lion du mouvement du centre de gravite, Se au principe des aires ,
fie que nous avons déjà trouvées d'une manière générale
dans la Section troifieme , elles fe préfenteront d'elles-mêmes
dans la folution de chaque problême, pourvu qu'on ait foin
dans le choix des variables de féparer le mouvement abfolu
du fyftême des mouvemens relatifs des corps entr'eux, ainfi
que nous l'avons fait dans la Section citée ( art...
Si quelques-unes de ces racines devenoient néga-
négatives ou imaginaires, elles introduiroient dans les finus cor-
refpondans des exponentielles réelles, & fi elles devenoient
Amplement égales, elles y introduiroient des puiffances al-
algébriques de l'arc ; c'eft de quoi on peut s'affurer en met-
mettant dans le premier cas, à la place des finus, leurs ex-
preffions exponentielles imaginaires, & en fuppofant dans
le fécond que les racines égales différent entr'elles de quan-
quantités infiniment petites indéterminées ; mais comme le déve-
développement de ces cas eft inutile pour l'objet préfent, nous
ne nous y arrêterons point...
De même fi on fait t = o dans les différentielles des mêmes
exprefEons, & qu'on regarde aufll comme données les valeurs de
7" » 4r » 7" f &c » on aura un fecon(i fyftême d'équa-
d'équations linéaires entre E' cof s', E" cof 6", &c, lefquelles fer-
viront à leur détermination...
Donc en général fi on fait ^4 K — B = a , les équations
pour la détermination des inconnues K, f,gt Stc> feront
dH...
De lorte qu on pourra faire a' = — ; ce
comme dans cette quantité a' les inconnues reftantesgt k, &c,
ne montent auffi qu'à la féconde dimenfion, on pourra faire
de même a" = — ; Se ainfi de fuite...
En effets
l'intégrale T -\- V *= conft, ayant néceflairement lieu , puif-
que TSc Vîonx...
),
x = r cof 4 cof ? , y = r cof 4 fin 9, ^ = r fin 4 ; & de la
dx% -h dy% -H d? = r* f cof 4' d^ -+- d-V) •+■ dr\
Ainfi n'y ayant qu'un feul corps , dont la malle peut être prife
pour l'unité , la quantité T fera fimplement égale à .....
La plus petite
valeur fera = —-— , 8c la plus grande fera= —£— , dont
la demi-fomme ou la valeur moyenne fera ——^- , & la
demi-différence fera - ^■~ ; de forte que e fera le rapport
de la demi-différence de ces valeurs à leur demi-fomme...
,On voit par les formules précédentes, qu'il ne
peut être réfolu rigoureufement ; mais en fuppofant
l'excentricité e fort petite, comme elle l'eft dans les orbites
de toutes les planètes , on peut avoir des folutions auffi
approchées que Ton voudra...