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Klein F. Gesammelte mathematische Abhandlungen. Band 2 (Springer, 1922)(600dpi)(KA)(de)(T)(721s).djvu |
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Size 11.9Mb Date Aug 5, 2005 |
durch Vergleichung eines Gliedes beiderseits findet man:
B3) c = ^
5 •
Bestimmung der JLo, Ai^ A2...
Nun kann man diesen Formeln eine geometrische Deutung geben,
durch welche der Zusammenhang dieser Betrachtungen hergestellt wird
mit denjenigen, die Clebsch in den Math...
Die Lösung der allgemeinen Gleichung
fünften Grades ist dadurch darauf zurückgeführt, die Gleichung vorab durch
^^) Z...
Nun mache man denselben Schluß, der schon in § 9 des vorigen Ab-
Abschnittes angewandt wurde...
Träfft man sodann in — -^ oder + — die Koordinaten
P2 Vq
der Punkte I (§ 2) ein, so entstehen genau die eben angegebenen Wurzel-
Wurzelwerte von /*...
Die Gleichung fM.fiC) = 0
stellt, wenn man sie unter Wegschaffung der Nenner so schreibt:
I>l'v^f{-^)■f{+^^)=n-p^^p.)■f(p^,p.)-o,
ein Aggregat von 24 Ebenen dar, von denen zwölf durch die Achse
^j = 0, P2 = 0 hindurchgehen und übrigens durch die zwölf Erzeugenden
(erster Art) der Gruppe Z*.^, während die zwölf anderen durch die Achse
p^ = 0 5 ^3 = 0 hindurchgelegt sind und die zwölf Erzeugenden zweiter
Art der Gruppe f^ ausschneiden...
ö +1
C9) -p-= ^-^ri-^{[«/*(-216«10-87«';«]' +265aV'-9«'r'
+ 35kVV^ —465KVV + 556o;V*'-4aV}'*
+ 2/'A08 a*/5 + 66 a V'+ 122aVV - 327k'';S* + 49K*/? j/ä
- 75aVV'- 119«VV+ «'}''- 144«^'
-2ccß'r'-ß'f)
+ 2/'G2 «V - 144 a»;ö'- 59 ««/? j'"-- 251«»/? V + 436 «V
+ SaV* - 77«VV'+ 255«^V - 344c«/S''y
+ 192^'+/?V*)
+ «/.(- 1080 a" - 1071 «Vr + 2147 cc'ß^ - 31 aV'
-iB2cc''ß^f-bbcc^ß^ Y +869a^ß"-lba^'ßy'
- 104c>;VV' + 349a;ßV - 240/S'7-/^V')
+ (- 540cc^'^ß + 198«V^ + 18a'/SV + 79«V* + m«*/??'''
-85o:VV''-150Bo:VV+3a'7' + 1792c;2/?'
- 22föVV+ 17«/5V + 16/5V')]
±VÄ[2/*(9o:V-43aV' + 4c>;Vr''- 11 o;/?V + 12/?'')
+ «/'(-12«'-4aVr- 21c>;V'-aV + 2a/SV-3/SV)
+ 2/'A6o;«/? - Sc;*]'^ - 9c>;VV+28k'/S* +/SV)
+ 2/.B9«V + 185 a^/3' + ll«^/Sr' + aVV-9«/?'-/? V)
+ (-Se«** + 24k5j5j' +109a*j5* - 3«'?'*'+ 22aVV^
-53a/?V-48/?')]},
-2'(±71-+ *')»''•
[Die Koeffizienten, mit denen'^^^, y^, y^^ y^ in C8) eingehen, sind
nun in der Tat von den entsprechenden in C9) auftretenden Koeffizienten
je um denselben Faktor unterschieden (worin eine große Zahl von Kon-
Kontrollen für die Richtigkeit der Zwischenrechnung liegt).] Man erhält daher
übereinstimmend für i = 4, 3, 2, 0 :
D0) 2/...
Wenn nämlich eine solche Resolvente existierte, so könnte man sie
auf rationalem Wege in eine Ikosaedergleichung verwandeln, wie folgende
Betrachtung zeigt...
Wir greifen nun aus den Gor dan sehen Entwicklungen diejenigen Punkte heraus,
die für uns die wesentlichsten sind:
1...
Als niederste solcher Formen (wir setzen den Grad in
.7]^, rj^ als einen Index dazu) findet Gor dan:
D')
Außerdem noch folgende zwei Formen:
+ iv,^' + 119 yl rji^ + 187 7I rjl^ + 17 ^f 7)^^) l^,
E23 ^ (A H)i,o '^ (»yr + '^07 nl^ rji - 391 rj}^ rj^^+Unr)l fjf^ + 46^,^ ^^) ^^
H- D6 y{^ i]i - 1173 f]f^ 7I - 391 rjl^ rj^^ - 207 rjl y}^ + yP ) ^2 •
4...
Nun soll y R [X) nach dem
Ab eischen Satze gleich einer rationalen Funktion der Wurzeln z^, z,-^, ..., z^.^
der Ikosaedergleichung sein:
i^RjX) = r(z,,z,,..:,zJ...
Ich glaube, daß diese Fragen unerledigt ge-
geblieben waren, als ich, vor nun einem Jahre, mich denselben zum ersten
Male zuwandte...
Ich habe mich dabei, was die speziellen Probleme des
fünften, siebenten oder achten Grades betrifft, mit Vorliebe wieder geo-
geometrischer Überlegungen bedient, obwohl das algebraische Schlußresultat
ebenso durch den allgemeinen analytischen Ansatz erzielt werden kann...
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