Hilbert D. (редактор). Gesammelte Abhandlungen Von Hermann Minkowski. Полоса 2 (Лейпциг, 1911) М. , Hilbert D. (ed.) Gesammelte abhandlungen von Hermann Minkowski. Band 2 (Leipzig, 1911)(600dpi)(KA)(de)(T)(475s)_M

Hilbert D. (редактор). Gesammelte Abhandlungen Von Hermann Minkowski. Полоса 2 (Лейпциг, 1911) М.

Hilbert D. (ed.) Gesammelte abhandlungen von Hermann Minkowski. Band 2 (Leipzig, 1911)(600dpi)(KA)(de)(T)(475s)_M_.djvu

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Date Oct 21, 2005

Cites: Bilden wir nun V{^^, t^, t)
und F(ti, ti, ti) gemäß der Pormel A35), so entsteht daher die Be-
Beziehung
B07) 1- (,^ _ d - Oo) i^((J) = V{ß, ti, ti) - V{ü^, ti, t,)...
Geht man auf die Tangentialebenen des Gebildes ein, so ist sein
konvexer Charakter gleichbedeutend mit folgendem Theorem:
Auf der Kugelfläche vom Radius 1 mit dem NuUpunkt als Mittel-
Mittelpunkt denke man sich Masse in einer beliebigen stetigen und durchweg
positiven Flächendichtigkeit ausgebreitet, doch so, daß der Schwerpunkt
der ganzen Belegung in den Nullpunkt fällt; alsdann existiert eine ge-
geschlossene konvexe Fläche, bei welcher an jeder Stelle das Produkt der
Krümmungsradien gleich der Flächendichtigkeit an dem Punkte der Kugel
mit gleicher Normale ist; und diese Fläche ist völlig bestimmt bis auf
eine beliebige Translation, durch die man sie noch variieren kann...
Wenn die Werte UjV,w=^ 0, 0, 0 sind, muß daher, da SJt nicht ganz in
einer Ebene liegen soll, stets
D) H(u, V, w) + H{— u,—v,—w)>0
sein...
Die
Ebene 99 = 0 ist dann jedenfalls eine Stützebene an Ä und heißt eine
extreme Stützebene an S...
Trifft der hier bezeichnete Umstand
zu, so wollen wir sagen, die Reihe der konvexen Körper Q', £l'', ...
Von den Relationen A4) ausgehend, erhalten wir folgende Ausdrücke
für B, 8, T aUein durch die Funktion B = H{%^, ^):
A7)
a _ 1 d'H _ cos^ du
^vn Q' d^dip sin^'^ dip'
Dabei wird immer i? > 0, J?T—S^>0, und in diesen Ungleichungen
sind bereits die allgemeinen Bedingungen A)—D) für die Stützebenen-
Stützebenenfunktion jS" völlig eingeschlossen...
Ein jeder Koeffizient Fy^^ ist allein von den drei zugehörigen
Körpern ®y, S^, ^^ abhängig; wir bezeichnen ihn auch mit V(ßjj S^, S^)
und nennen ihn das gemischte Volumen der Körper ^y, S^, S^...
Wir haben nun in bezug auf den Flächeninhalt ^ noch einige Be-
Bemerkungen zu entwickeln, die bald Anwendung finden werden...
Schreiben wir zur Abkürzung x^, 2/1 ^^<^ ^2? ^2 f^^' ^iW; ^1(^1^) ^^d
x^it), ^2(^2^) ^^d machen von D7) Gebrauch, so ergibt sich
*) Die Idee dieser Zuordnung der parallelen Sehnen in zwei Ovalen nach dem
Verhältnis der je zwei Flächenstücke, in welche sie die Ovale zerschneiden, rührt
von Herrn H...
Ist c < / < -^ < /' < G, ^ = A — t)/ + tz''y so enthält das Schnitt-
Schnittoval 5(-^), da S ein konvexer Körper ist, jedenfalls das ganze durch
A — OSC-^O + ^S@ dargestellte Oval in sich und gilt daher zufolge der
Ungleichung D0) sicherlich
Auf Grund dieser Eigenschaften erkennen wir, wenn wir z und f als
rechtwinklige Koordinaten in einer Ebene deuten, daß der Bereich
E3) c£z£G, 0£f£f(z)
ein Oval in dieser Ebene vorstellt, und nimmt infols^edessen —~— mit
' ° dz
wachsendem s beständig ab...
Verbindet man jeden Punkt \ von ^^ mit jedem Punkte \ von
^2 und teilt die Strecke W immer in dem Punkte l = {1 — t)\ ■{- t\, so
erfüllt die Gesamtheit aller verschiedenen in dieser Weise entstehenden
Punkte ! genau den konvexen Körper ^ = {i — tJ^ ■{- t^:^, der als Stütz-
Stützebenenfunktion J?= A — t)H-^^ + tll^ besitzt (vgl...
Die Menge der dabei
hervorgehenden Punkte f = A — 0 fi + *^f2 bildet alsdann genau den Bereich
F9) {X-mM^^))-\-t%{^^,ir))
in derjenigen Ebene z = const., die durch den Wert z in F8) bestimmt
ist; danach muß der zu diesem Werte ^ gehörige Schnitt %(ß) von Ä
gewiß den ganzen Bereich F9) in sich enthalten...
*) Von der Literatur über diesen Satz seien erwähnt: Steiner, Über Maximum
und Minimum bei den Figuren usw., Grelles Journal, Bd...