Hilbert D. (редактор). Gesammelte Abhandlungen Von Hermann Minkowski. Полоса 2 (Лейпциг, 1911) М. , Hilbert D. (ed.) Gesammelte abhandlungen von Hermann Minkowski. Band 2 (Leipzig, 1911)(600dpi)(KA)(de)(T)(475s)_M

Hilbert D. (редактор). Gesammelte Abhandlungen Von Hermann Minkowski. Полоса 2 (Лейпциг, 1911) М.

Hilbert D. (ed.) Gesammelte abhandlungen von Hermann Minkowski. Band 2 (Leipzig, 1911)(600dpi)(KA)(de)(T)(475s)_M_.djvu

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Date Oct 21, 2005

Cites: Durch Summation der Beziehungen A97)—B01) entsteht nun
B02) r{^, ^, S)- F(S, ^^S0^|-F(^)[q-q'~ 1^\q'-0]
Hierin ist q — c^' > 0 und, wie oben bemerkt, konvergiert A, mit ö
zugleich nach Null...
Wenn die Werte UjV,w=^ 0, 0, 0 sind, muß daher, da SJt nicht ganz in
einer Ebene liegen soll, stets
D) H(u, V, w) + H{— u,—v,—w)>0
sein...
Mit Hilfe von C) und B)
gewinnen wir die Ungleichung
F) 1 Hin — Uq,v — Vq,w — Wq) — S(uqj Vq, Wq) \ ^ GYu^ + v^ + ^^•
§ 2...
Dann gilt auf g in
einer gewissen Umgebung von :(:) für Ag eine Entwicklung nach Potenzen
von Ai, A?^:
Ae = - I (PAg^ + 21 A§A.^ + TA.^^) + (A§, t.yi\ + • • •;
darin bilden die quadratischen Glieder eine definite negative Form, es ist
also P > 0, PI- 12 > 0...
Nach der Gleichung B3) besteht für diesen Ausdruck die wichtige Eigen"
Schaft, daß er bei beliebigen Permutationen von 1, 2, 3 seinen Wert nicht
ändert...
Ist c < / < -^ < /' < G, ^ = A — t)/ + tz''y so enthält das Schnitt-
Schnittoval 5(-^), da S ein konvexer Körper ist, jedenfalls das ganze durch
A — OSC-^O + ^S@ dargestellte Oval in sich und gilt daher zufolge der
Ungleichung D0) sicherlich
Auf Grund dieser Eigenschaften erkennen wir, wenn wir z und f als
rechtwinklige Koordinaten in einer Ebene deuten, daß der Bereich
E3) c£z£G, 0£f£f(z)
ein Oval in dieser Ebene vorstellt, und nimmt infols^edessen —~— mit
' ° dz
wachsendem s beständig ab...
Zerlegen wir ^ in lauter Pyramiden mit der Spitze in demjenigen Punkte
von ^j für den z = c ist, und mit den einzelnen Oberflächenelementen
von S als Grundflächen, so ist für den Schwerpunkt einer jeden dieser
Pyramiden G — ^ > — {C — c) und gilt daher die gleiche Relation auch
für den Schwerpunkt von ® selbst, d...
Der kleinste und größte Wert von ^ in ® bestimmen sich gemäß
F5) c = A - 0 Ci + tc^, C = A - i) Ol + tC^...
Andererseits führen die zwei quadratischen Ungleichungen G9) und
(80) bei Elimination von F2 zu
mithin zurück zu der kubischen Ungleichung, von der wir ausgegangen
sind, so daß jene kubische Ungleichung und die quadratische G9) einander
gegenseitig zur Folge haben...
Wir wenden nun die für zwei konvexe Körper nachgewiesene Un-
Ungleichung V^^ — Fq Fg ^ 0 derart an, daß wir für den ersten Körper
ft^i+ ^2^2+i^3®3; f^^ ^^^ zweiten ^1^1 + ^2^2 + ^'3^3 nehmen, wobei
Pij ' ' '} Q.b lauter positive Parameter seien...
Wir beweisen zunächst den Nachsatz, daß den hier gestellten
Forderungen, wenn überhaupt, jedenfalls nur durch einen einzigen Körper
genügt werden kann...
Um zu einem Beweise dieses Satzes zu gelangen, fassen wir jetzt
die Gesamtheit aller möglichen Polyeder mit n oder weniger Seitenflächen
ins Auge^ welche die äußeren Normalen der Seitenflächen nur unter den
n Richtungen {a., ß., 7.) besitzen und welche ferner den ISTullpunkt in
sich schließen...
Alsdann können wir zeigen, daß die Ebene
4(*i^l+^2^2 + ' •• + *.&) = !;
die jedenfalls durch den Punkt (r^ geht, die einsige Stützebene an 39
durch diesen Punkt vorstellt, daß mithin die n Gleichungen
(99) ct),= 4 (^ = 1,2,...,^)
gelten müssen...
und ist selbst ganz enthalten im Gebiet
aller Punkte auf ® mit einer Winkeldistanz ^ 6 von r^; daraus folgt
2 TT (l - cos -J) < ^...
Wir werden somit auch eine Größe s,
die zugleich mit B nach Null konvergiert, angeben können, so daß
gilt, und wir haben damit das Resultat erlangt:
Soll ^
ausfällen, so muß jedenfalls S gan^ in A + f) -~ enthalten sein und selbst
1 ^ ^^
das Polyeder —-r-—^ in sich enthalten, wobei s eine gewisse vom Winlcel 6
■*• ~r ^ y^
abhängende Größe bedeutet, die mit nach Null abnehmendem 6 ebenfalls
nach Null konvergiert...