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Hilbert D. (ed.) Gesammelte abhandlungen von Hermann Minkowski. Band 2 (Leipzig, 1911)(600dpi)(KA)(de)(T)(475s).djvu |
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Size 8.8Mb Date Oct 21, 2005 |
Projektion des Ovals g(d) vom Punkte 0 aus auf die Ebene z = c^ in dieser
das Oval —~-^ ^ (d); konstruieren wir sodann den Zylinder S^ mit
letzterem Oval als einer Grundfläche und mit Erzeugenden des Mantels,
die parallel und gleich )j)q sind, so daß die andere Grundfläche durch
Dilatation des Ovals t5(^) ^^^ ^ ^^^ ™ Verhältnisse c^: c^ — 8 entsteht,
Minkowski, Gresammelte Abhandlungen...
Der Einfachheit wegen denken
wir uns 0 ins Innere von f und die positive ^-Achse in die Richtung
jener Normale gelegt, und wir wollen in bezug auf t und f und diese
Richtung die Zeichen c^', c/, c^, c^, (J, t^, S^, ^(<5), F(d) genau wie vor-
vorhin verwenden...
Wenn die Werte UjV,w=^ 0, 0, 0 sind, muß daher, da SJt nicht ganz in
einer Ebene liegen soll, stets
D) H(u, V, w) + H{— u,—v,—w)>0
sein...
Die Ungleichung
ax + ßy + y0^ H{a, ß, y)
bezeichnen wir als die Bedingung der Stützebene an S mit der äußeren
Normale {a, ß,y)...
immer ?e^" ^ Mit Berücksichtigung von e"^ > ^ ersehen wir hieraus,
daß auf der Begrenzung von £l niemals y; "^; ^ gleichzeitig Null sein
können, mithin in jedem Punkte dieser Begrenzung stets eine bestimmte
Tangentialebene existiert...
(Wir bezeichnen hier und weiterhin eine dreireihige Determinante, in
welcher die Glieder der ersten Reihe von der Koordinate x abhängen und
die der zweiten und dritten in der entsprechenden Weise mit Hilfe des
Zeichens y bzw...
Betrachten wir nun das gemischte Volumen F123 "= ^(®i; ®2; ^3)
dreier vollkommener Ovaloide ^j^, Sg; ^s- Schreiben wir
j...
Sind Sj^Sg? • • •; ^m l^eliebige konvexe Körper, so können wir
nach § 2 jeden dieser Körper ^^ als Grenze einer Reihe vollkommener
Ovaloide Q...
Der Krümmungsradius der Begrenzung von ^ in
einem Punkte :(:), wo die äußere Normale die Richtung (c^, ß) hat, wird
B = H-\- Y^ ^^d ^^^ Flächeninhalt von ^ bekommt den Ausdruck:
C1) F = \jH[H+'^)d^...
Der Flächeninhalt des Ovals % besitzt einen Ausdruck
C8) F={1^ tfF,, + 2A - t)tF,, + fF,,,
wobei F-^^ den Flächeninhalt von ^^, F^^ den von ^g ^^^ -^12 ^^^^ weitere
Konstante bedeutet, die wir den gemischten Flächeninhalt von ^^ und ^2
nennen...
Schreiben wir zur Abkürzung x^, 2/1 ^^<^ ^2? ^2 f^^' ^iW; ^1(^1^) ^^d
x^it), ^2(^2^) ^^d machen von D7) Gebrauch, so ergibt sich
*) Die Idee dieser Zuordnung der parallelen Sehnen in zwei Ovalen nach dem
Verhältnis der je zwei Flächenstücke, in welche sie die Ovale zerschneiden, rührt
von Herrn H...
Wir nehmen ferner für Sg <^®^ Würfel von der Kante 1:
i^^l l^^l 1^.1
-Y<^<Y, -Y<^<Y, -y<^^y;
für diesen Körper ist H^is^, ß, y) = -^(\(^\-Y\ß\ + \y\) ^nd stellt infolge-
infolgedessen 3 Fl = 3 7(^2, ^1, SJ nach B4) und A8) die Summe der Flächen-
Flächeninhalte der drei senkrechten Projektionen des Körpers S^ auf die drei
Koordinatenebenen dar, während F3 = 1 ist...
Andererseits führen die zwei quadratischen Ungleichungen G9) und
(80) bei Elimination von F2 zu
mithin zurück zu der kubischen Ungleichung, von der wir ausgegangen
sind, so daß jene kubische Ungleichung und die quadratische G9) einander
gegenseitig zur Folge haben...
Danach liefern unter allen konvexen Körpern von gleicher Oberfläche
die Kugeln und die Kappenkörper von Kugeln das Maximum des Produkts
aus Volumen und Integral der mittleren Krümmung und andererseits allein
die Kugeln das Minimum des Integrals der mittleren Krümmung...
Ist F(a, ß, y) eine auf der Kugel fläche ® beliebig vorgeschriebene, daselbst
stetige und durchweg positive Funktion, welche die drei JBedingungsgleichungen
faFdco^O, fßFdG)==0, j yFdo^O
erfüllt y so gibt es immer einen stetig gekrümmten konvexen Körper Ä mit
FioCy ßy y) als Krümmungsfunktion, und dieser Körper ist bestimmt bis
auf eine willkürliche Translation, durch die man ihn noch abändern kann^
also eindeutig festgelegt, wenn noch zusätzlich gefordert wird, daß sein
Schwerpunkt im Nullpunkte liegen soll...
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