| Home / lib / M_Mathematics / | ||
Hilbert D. (ed.) Gesammelte abhandlungen von Hermann Minkowski. Band 2 (Leipzig, 1911)(600dpi)(KA)(de)(T)(475s).djvu |
|
Size 8.8Mb Date Oct 21, 2005 |
wir uns 0 ins Innere von f und die positive ^-Achse in die Richtung
jener Normale gelegt, und wir wollen in bezug auf t und f und diese
Richtung die Zeichen c^', c/, c^, c^, (J, t^, S^, ^(<5), F(d) genau wie vor-
vorhin verwenden...
Berechnen wir nun F(S, ^', S') gemäß A24), indem wir an die
Stelle der Polyeder S^, Sg; ^3 ^ori jetzt S, ^', S' treten lassen, so wird
darin ein von Null verschiedener Paktor F^^'^ jedenfalls nur solchen Rich-
Richtungen {d'^\ ß^'^\ y^'^^) entsprechen, wobei die Stützebenen an S mit diesen
Normalen sei es eine Seitenfläche, sei es eine Kante von S enthalten...
Werden zwei der Körper mit einem bestimmten
Körper S, der dritte aber mit einer Kugel vom Radius 1 identifiziert, so
ist das dreifache ihres gemischten Volumens die Oberfläche von S...
Ist Ä* ein zweiter konvexer Körper mit der Stützebenenfunktion
H^iu, V, w), so ist dann und nur dann Ä ganz in S* enthalten, wenn stets
II{u, V, w) ^ H^iu, V, w)
ausfällt...
Andererseits ist aus A0) er-
ersichtlich, daß jede Tangentialebene an Q mit Q nur eine Berührung
erster Ordnung eingeht...
Wir setzen jetzt
d^x ^ d^ , d^ _ __ 7? ^ ( ^^^ I R ^^y I __^?_\ - Q
1 / ^ , ^^!2/ , l!i\ „TT
Durch Differentiation der zwei Gleichungen A3) einmal nach '^, einmal
nach ip erhalten wir noch die Beziehungen
Nun gilt
aus den Gleichungen A1) gewinnen wir dann mit Rücksicht auf die
letzten Ausdrücke und auf A3):
Ag = JJA'^ + Ssiu'^Ai^ H , A?^ = SA'^-f Tsiu'^A^ H ,
Ag= -^(i?A'^2^2Ssin'9'A'9'At/;-f Tsin2^Ai/^2) ^ ...
Ein jeder Koeffizient Fy^^ ist allein von den drei zugehörigen
Körpern ®y, S^, ^^ abhängig; wir bezeichnen ihn auch mit V(ßjj S^, S^)
und nennen ihn das gemischte Volumen der Körper ^y, S^, S^...
Als Vorbereitung zum Nach-
Nachweis dieser Ungleichungen behandeln wir zunächst die entsprechenden
Fragen für die Ebene...
Sind ^^i '^^^ ^2 homothetisch, so decken sich
die Ovale ^g und '^^ und ist daher auch ihr gemischter Flächen-
V-^22 V^U
Inhalt == 1, also F^2 == V^n -^22 ^^^ "^^^^ andererseits D == 1...
Alsdann ist C^ = H^(l, 0, 0), C^ = H^{1, 0, 0) und
nach der eben gemachten Voraussetzung wird
3/
F4) |^-^-=D>l...
Vertauschen wir die Rollen von ^^ und Sg, so treten, wie aus
F1) zu ersehen ist, an Stelle von Vq, V^, V^, Fg diese Größen in um-
umgekehrter Folge und geht aus F^ ^ Y^^ Fg die Ungleichung V^ '^V^^^b^
hervor...
Unter solchen
drei zueinander orthogonalen Projektionen des Körpers befindet sich dann
gewiß wenigstens eine von einem Flächeninhalt ^ V^...
Nehmen wir für Sg ^^'^^ Kugel vom Radius 1, so ist V^ das Volumen,
3 F^ die Oberfläche, 3 Fg das Integral der mittleren Krümmung von ^^
und F3 == — • Alsdann gilt V^^ ^ Vq V^ und hat hier das Gleichheits-
Gleichheitszeichen dann und nur dann statt, wenn S^ eine Kugel oder ein Kappen-
Kappenkörper einer Kugel ist...
Damit
kommen wir zu folgendem Satze:
Drei beliebige konvexe Körper vom Volumen 1 (hier 3 S^, 3 S^,
3 ^^\ ergeben stets ein gemischtes Volumen [nämlich 3 ^^^ V
V ^888 / ^ y ►^^ili ^222 '^^SSS
das ^ 1 und nur dann = 1 ist, wenn alle drei Körper einander hämo-
thetisch sind...
Setzen wir H'=^ H + dH, so hat der Körper A — ^)Ä + t^\ wenn
^> 0 und < 1 ist, die Stützebenenfunktion JT+ töH...
Da nun hierbei der Wert 3 F(S', S, S) sich nicht ändert und
die Größen a,!), c völlig beliebig sind, so ersehen wir:
Die Krümmungsfunktion F für einen stetig gehrümmten Körper muß
stets die drei Bedingungsgleichungen erfüllen:
(89) CaFdco^O, fßFdco^O, fyFdG)==0...
| © 2007 eKnigu | ||