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Hilbert D. (ed.) Gesammelte abhandlungen von Hermann Minkowski. Band 1 (Leipzig, 1911)(600dpi)(KA)(de)(T)(407s)_M_.djvu |
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Size 6.9Mb Date Jan 5, 2005 |
Die Größe f{ 2} ist dann gleich einem, Frodulde aus der Potenz =
und aus X Faktoren Sl;^., welche den X einzelnen Besten (t>^, entsprechen und
folgendermaßen hestimmt iverden:
(I)...
Schließt man diesen Fall aus, so besitzt das über alle möglichen
Primzahlen g = 2, 3, 5, ...
= x^ umfassen, in welchen die n Zahlen %^, §2; • - • ? 1,^
keinen gemeinschaftlichen Teiler haben...
L i 1 , ('(zll)!_A_^L^_±_
L i' ' J l P M
dagegen, wenn ?; = 1 (mod 2):
■^P 2
3) Ist endlich q eine der Primzahlen aus 8AE, so besitzt das ge-
gegebene Genus G für einen jeden Modul q^ Hauptreste f^ mit einem ersten
Koeffizienten ö^m...
Die zu 9^ gehörige
Größe Mq läßt sich ebenfalls durch einen der Grenzwerte {m} darstellen;
und zwar ist hier, nach den Sätzen aus 9...
Dabei erscheint der Umstand von wesentlicher Bedeutung,
daß diese Formen, abgesehen von der identischen und der negativen iden-
identischen Transformation, keine eigentlichen Transformationen in sich zu-
zulassen können, welche modulo 2 der identischen Transformation kon-
kongruent sind...
Die Gruppe der t(f^ Transformationenreste ist ofienbar eine Unter-
Untergruppe der Gruppe sämtlicher inkongruenter Transformationenreste modulo p
von einer Determinante ^+1 (mod|)), und ihre Ordnung, die Zahl t{f),
daher ein Divisor der Ordnung der letzteren Gruppe, d...
Nun hat zuerst Henry
John Stephen Smith*) ausgesprochen, daß irgend zwei Formen eines
Geschlechts immer durch rationale Transformationen von der Determinante 1
und mit einem, za einer beliebig vorgeschriebenen Zahl relativ primeii
Generalnenner ineinander übergeführt werden können, eine Eigenschaft,
welche sie umgekehrt auch als zu demselben Geschlecht gehörig charak-
charakterisiert...
— Im Falle n = 1 ist JS das Produkt
A
aller derjenigen ungeraden Primzahlen p aus A, für welche — quadratischer
Nichtrest von p ist...
Hält man dieses Resultat mit dem Umstände zusammen, daß von
^ = 3 an die Invarianten A und B vöUig unabhängig voneinander sind,
so ist insbesondere zu schließen, daß man m jeder Form f mit mehr als
drei Variablen nach Belieben eine Form g mit drei Variablen weniger an-
annehmen hann, welche nur, als Aggregat von soviel Quadraten reeller linearer
Formen dargestellt, als sie Variablen besitzt, weder mehr positive noch mehr
negative Quadrade enthalten darf als f in einer entsprechenden Darstellung,
und daß dann jedesmal ein Typus von rationalen Formen % mit drei Va-
Variablen existiert, so daß f rational in g + % transformiert werden kann...
Der Wert dieser Zahl D ist außer durch das Verhältnis, in welchem
die einzelnen Primzahlen von B^ zu A stehen sollen, durch die bereits
oben erwähnten, für die Einheiten C^ von vornherein gegebenen ße-
n
Ziehungen in der Weise beschränkt, daß, wenn (~ 1)^^ = 1 (d.h...
Es handelt sich also hier um die Kriterien für solche
Formen mit n Variablen, welche sich rational transformieren lassen in
Rational ineinander transformierbare quadratisclie Formen...
Die Invarianten des Geschlechts einer quadratischen Form sind ihre
Ordnung und ihre CharaMere...
Nun kann man jede Form /", wenn von ihren Zahlen ö^, ög? •••? ^n-\
im ganzen 2—1 durch eine Primzahl p teilbar sind, durch höchstens
n — X Substitutionen, welche darin bestehen, daß sie eine Variable um
eine zweite vermehren, und höchstens n — 1 Substitutionen, welche darin
bestehen, daß sie zwei Variablen miteinander permutieren und gleichzeitig
eine derselben mit — 1 multiplizieren, in eine solche Form ^ transformieren,
in welcher die aus den ersten Ä = 1, 2, ..., n — 1 Horizontal- und Vertikal-
Vertikalreihen der Determinante gebildeten Unterdeterminanten möglichst niedrige
Potenzen von p als Faktoren haben, d...
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