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Hilbert D. (ed.) Gesammelte abhandlungen von Hermann Minkowski. Band 1 (Leipzig, 1911)(600dpi)(KA)(de)(T)(407s)_M_.djvu |
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Size 6.9Mb Date Jan 5, 2005 |
durch 4 leilhar sind; andernfalls aber bilde man für 0^., gemäß den
Formeln Fi), zwei Einheiten e^ und dj^j und setze:
1) ^venn ^j^^O (mod 2),
je nachdem 8^ = i oder = — 1 ist,
a, = (l+d,.2"^"'7 oder =1;
2) wenn «j = 1 (mod 2),
a, = (l + ^,-2 ' ) ...
Ebenso im allgemeinen, wenn 6^-=l ist; nur be-
bestehen hier die folgenden Ausnahmefälle:
^-^ /2\
1...
) Ist weiter g ==^ eine der /t ungeraden Primzahlen aus m, und p"^
die höchste Potenz dieser Primzahl, welche m teilt, so besitzt das Genus
G(m) Reste vom Typus:
g^c^'+ p\c,i,' + ...
(9 G
In derselben Weise ergeben sich die Ungleichungen für die Größe
(ßN)^, ' S^, welche den Wert der über alle Zahlen m erstreckten Summe
^ — ausdrückt...
Die Anwendung der Grleichung B1) auf G
liefert:
WO m alle positiven und zu 2ii relativ primen Zahlen mit festen Einheiten:
/H — 1
zu durchlaufen hat...
eine solche Substitution, es mögen also die Kongruenzen gelten:
<^hk^^7 (^kk- 0 (mod 4) G^ + /O-
Damit Ä eine endliche Ordnung besitze, ist notwendig und hinreichend,
daß die Elementarteiler der mit einem Parameter r gebildeten charakte-
charakteristischen Determinante
/ Ä, /ß === 1, 2, ...
Ist A modulo 2 der identischen Substitution kongruent, so gilt das-
dasselbe von jeder ähnlichen Substitution...
Hat ferner letzteres
für irgend zwei Substitutionen statt, welche modulo 2 der identischen
Substitution kongruent sind, so findet es sich auch im Produkte der-
derselben erfüllt...
Zwei Formen sollen vollständig"^) äquivalent heißen, wenn sie durch
ein S^ ineinander transformiert werden können...
Die in Rede stehende Gruppe ist einstufig isomorph zur Gruppe der
Reste ihrer Transformationen in bezug auf irgendeine ungerade Prim-
Primzahl p...
Als spezielle Fälle seien die folgenden erwähnt: die Form
geht durch 2''n!j die Form
®« = S^J' + ^'^'Z*) (/'-= 1' 2,.., n)
von der Determinante n-\-l durch 2'{n+V)\ ganzzahlige Transforma-
Transformationen in sich selbst über...
Sie sehen hiernach, daß bei gegebener Variablenzahl und gegebenem
Trägheitsindex stets unendlich viele verschiedene Typen von quadratischen
Formen, die nicht rational ineinander zu transformieren sind, existieren,
und daß von n == 3 an die unendliche Anzahl dieser Typen in gewissem
*) Memoires präsentes ä l'Academie des Sciences de Flnstitiit de France, XXIX...
, ^^ — 3) genommen werden,
wenn darin nicht mehr als I Koeffizienten — 1 und nicht mehr als n — Z
gleich 1 sind, wobei n und I sich auf f beziehen...
Die Klammern bedeuten das Legendre-eTacobische Symbol,
und zwar setze ich dasselbe hier für den Fall negativer Zahlen im Zähler
wie im Nenner durch die Gleichung (~j~\ = — (—-^ definiert voraus, so
daß insbesondere für alle ungeraden Zahlen N, für positive sowohl wie
für negative, das Symbol (-^ ) === (~~ 1) ^ ist...
Ist
nun M irgendeine zu 2D relativ prime, positive ganze Zahl, welche den
Bedingungen genügt, daß für jede in Ä aufgehende ungerade Primzahl p
l—j = 1 oder == — 1 ist, je nachdem die Charaktere G für cp und ij;
n
gleich oder verschieden sind, und daß, wenn nicht (— 1)^ J.^ 1 (mod 4)
ist, das Symbol \-irpj == 1 oder = — 1 ist, je nachdem 9 und il^ gleiche
oder verschiedeae Charaktere Cg haben, so kann bei Mijj und cp ein Zweifel
über die Grleichheit der Einheiten C^ nur noch hinsichtlich der in M auf-
aufgehenden Primzahlen möglich sein...
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