| Home / lib / M_Mathematics / | ||
Gauss C.F. Werke, Band 01. Disquisitiones Arithmeticae (Lipsiae, 1801)(de)(la)(400dpi)(T)(478s).djvu |
|
Size 6.5Mb Date Jun 6, 2005 |
accipiuntur, atque fit ac=-bb — D, dc = b'b'—D, a"c" = b"b"—D etc.: forma
(A, B, C) composita erit e formis (a, b, c), (d b' c'), [a b" c"), sive in has formas
resolubilis...
Eadem signa
etiam ad formas transferri possent, ita ut («, b, c) -j- {<*', V, c) designaret formam
ex (a, b, c), («', b', c) compositam: sed ne vel species ambiguitatis oriri possit,
hac abbreviatione abstinere malumus, praesertim quod tali signo \jM(a, b, c)
significationem peculiarem iam tribuimus Classem 2K ex duplicatione classis
K oriri dicemus, classem 3 K ex triplicatione etc...
Generaliter autem, quando D per n
numeros primos diversos est divisibilis (inter quos hoc loco etiam 2 in compu-
tum ingredi debet): dabuntur omnino 2n+t huiusmodi formae; scilicet posito
D = ^tzPQR..., designantibus P, Q, _R etc...
Quum itaque character formae
[p, 0, —2) relative ad numerum 8 sit 1 et3, 8, ipsius character relative ad p non
poterit esse alius quam Rp, unde — 2 Hp...
) atque e vel impar vel par; denique adiuncto vel cha-
charactere 5^7, 8, vel duobus 5,8 atque 7,8, quando D'=6 (mod...
vel nullus numerus formae 4»-f~ 3 reperietur, vel duo, vel
quatuor etc., sed quum vel 3,4 vel 3,8 vel 7,8 in hoc casu occurrat inter cha-
characteres particulares formae (—1, 0, D), patet, characterem integrum huius for-
formae etiam hie-pertinere ad Q...
Proxime quidem Sectio praesens solis formis binariis secundi
gradus est dicata; sed quoniam complures veritates ad has speetantes, eaeque pul-
cherrimae, adhuc supersunt, quarum fons proprius in theoria formarum temaria-
rum secundi gradus est quaerendus, brevem ad hanc theoriam digressionem hie in-
tercalamus, in qua ex primis eius elementis ea trademus, quae ad perfectionem
theoriae formarum binariarum sunt necessaria, quod geometris aeeeptius fore spe-
38*
300- DE PORMIS SECDNDI GRADUS...
Ita
axx-\- dx'x'-\- d'x"x"-\- 1 bx'x"-\- 1 b'xx"-{- 2b"xx
erit forma ternaria rite ordinata, cuius indeterminata prima x, secunda x, ter-
tertia x", coefficiens primus a etc., quartus b etc...
Designato brevitatis caussa numero
Ö"— 7Ö'a"— ay'6"— Gctf per k
invenitur post debitas reduetiones E — /ckD, unde patet, D metiri ipsum E
et quotientem esse quadratum...
f transmutatum iri per substitutionem
-f yS", ae -f 6g' +7g", a£ -{-*>£' -f TC"
«'£ -f 6'C'
In eo itaque casu, ubi f aequivalet ipsi f, atque f ipsi /", forma / etiam
formae f" aequivalebit Ceterum sponte manifestum est, quomodo haec theo-
remata ad plures formas sint applicanda...
Hoc itaque modo forma / ad aliam reducitur coef-
coefficientem primum, si fieri potest, minorem habentem, et cuius forma adiuncta
coefficientem tertium eundem habet ut forma F ipsi f adiuncta...
Hinc iam na,cti sumus egregium theorema: Quaevis forma ternaria
determinantis D reduci potest ad aliam aequivalentem, cuius coefficiens primus non
sit maior quam % \/D, atque coefficiens tertius formae ipsi adiunctae non maior quam
i-tyD~ sine respectu signi, siquidem forma proposita his proprietatibus ipsa nondum
est praedita...
Ad hunc finem observamus primo, si fuerit A" = 0, sup-
poni posse, esse etiam a = 0; si enim a non = 0, reductio prima adhuc se-
mel applicabilis foret...
Iam quum per disquisitiones praecedentes
quaevis forma ternaria determinantis D alicui ex illis formis necessario aequiva-
leat, i...
Manifesto autem quaevis
forma ternaria definita necessario aequivalebit tertiae —xx—yy — Izz, quura
duae priores sint indefinitae; quaevis indefinita primae vel secundae, et quidem
primae 2xx-{-2yz, si ipsius coefiiciens primus, secundus et tertius simul sunt
pares (quoniam facile perspicitur, talem formam per substitutionem quamcunque
in similem formam transire, adeoque formae secundae aequivalere non posse),
secundae xx-\-yy — 2zz autem, si ipsius coefiiciens primus, secundus et ter-
tertius non simul pares sunt, sed unus, duo omnesve impares (in talem enim for-
formam ex simili ratione forma prima 2xx-\- 2yz per nullam substitutionem trans-
formabilis esse poterit)...
| © 2007 eKnigu | ||