Gauss C.F. Recherches arithmetiques (fr)(T)(530s).djvu: eKnigu

Gauss C.F. Recherches arithmetiques (fr)(T)(530s).djvu

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Date Oct 27, 2004

si n est une fraction, son dénominateur
doit être un diviseur de rrl plus grand commun diviseur entre a', ab', d, et que
parconséquent m'n est entier ; il en est de même de mnr...
en
retranchant le produit des équations A2) et A7), du quarré de
l'éqnation (i4) :
o =2rfV(A* — ddr) o s= (&*—<?#)*
ARITHMÉTIQUES...
Donc k est le plus grand
diviseur commun entre mn' et m'n ; d'où l'on voit facilement que
Z>k* est le plus grand commun diviseur des nombres dm'', d'm*...
Puisque Akx, zBk*, Ck* sont divisibles par mm', il s'ensuit
que Mk" est divisible aussi par mm' ; mais on voit par les équa-
équations fondamentales que M divise les nombres aa', 2ab% ad,
ARITHMÉTIQUES...
Soient f= (a., b, c) , f'~ (a!, b', c') les formes à composer ;
d, d' leurs déterminans; m, m'les plus grands diviseurs communs
des nombres a, 2b, c; a', zbe, d respectivement, et D le plus
grand commun diviseur des nombres dm'*, d'm*, pris avec le même
signe que d et d'...
Les trois dernières ont déjà lieu par hypothèse ;
donc la forme F se changera en ff par la substitution p, p',
p", p", q, q', q'y q", et son déterminant sera D, qui est égal au
plus grand commun diviseur des nombres dm'', d'm* ; donc par
la quatrième conclusion du n* précédent, 2** sera composée àef,f...
En combinant le présent théorème avec celui du n° précédent^
nous obtenons le suivant, qui est plus général :
Si une forme F est transformable en ff, que f, P renferment
les formes g, g' respectivement, et que G renferme F, G sera
transformable en gg\
En effet, parle théorème du n" présent, G se changera enff,
donc par le théorème du n° précédent, G se changera en fg' et de
même en ggr...
Si donc F' est aussi composée de f, f, et de la même ma-
manière que F, on aura Z^=X), et partant i7 et F' sont propre-
proprement équivalentes...
Sil'on rend2?=|3 en faisant -7f=<zB-, -71'=^'",'7t*=<sr"'^"^ms"',
on peut trouver pour ces nombres d'autres valeurs qui rendent B égal
à un nombre quelconque donné congru à /3, suivant le module A,
c'est-à-dire, telles qu'on ait B = /3 + kyi...
Mais
la composition de la première et de la quatrième donne (i°.) la
forme principale5 la composition de la première et de la cinquième
la donne aussi} donc B0.) la forme composée définitive est
B, 1, 201)...
De
cette manière en obtiendra des formes dont les premiers termes
seront encore des puissances de nombres premiers, mais de nombres
premiers différensj ainsi par l'observation C) on pourra trouver
•une forme composée de ces dernières...
Nous appellerons en conséquence l'ordre qui renferme la forme J7,
ordre composé de ceux qui renferment/et/'...
Si en outre—- = i (raod.4), ily auraaussi un ordre de formes
de déterminant D dérivé d'un ordre improprement primitif de dé-
déterminant — , auquel appartiendra évidemment la forme
Bm, m, m^i \ qui sera la plus simple...
Les
signes inférieurs doivent être pris quand F est une forme négative,
et les signes supérieurs dans les autres cas...
Nous avons ainsi une règle générale :
KeiL étant deux classes quelconques de l'ordre O, et r le
nombre des classes proprement primitives de même déterminant,
dont chacune produit L par sa composition avec K, le nombre
ARITHMÉTIQUES...
On aura de cette manière toutes les classes cherchées ,
et leur nombre sera à l'unilé comme le nombre total des
classes
ARITHMÉTIQUES...
Ainsi quand a=i, V n'aura qu'une forme A, o, —D)t
qui sera toujours proprement primitive...