Galois E. Оеуврес Mathematiques , Galois E. Oeuvres mathematiques (1846)(fr)(KA)(T)(84s).djvu:

Galois E. Оеуврес Mathematiques

Galois E. Oeuvres mathematiques (1846)(fr)(KA)(T)(84s).djvu

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Date Nov 19, 2005

Cites: »
En effet, d'après la proposition I, toute fonction connue doit être
invariable par les permutations du groupe de l'équation...
Par conséquent, d'après les théorèmes II et III, le groupe de l'équa-
l'équation devra se décomposer en p groupes jouissant les uns par rapport aux
autres de cette double propriété : i° Que l'on passe de l'un à l'autre
par une seule et même substitution ; 20 que tous contiennent les mêmes
substitutions...
Dans la suite naturelle des
idées, c'est donc par cette racine carrée qu'il faut commencer...
»
Réciproquement, si cette condition a lieu, je dis que l'équation
sera soluble par radicaux...
En second lieu, cela suffit; car, dans ce cas, aucune substitution du
groupe ne laissera deux lettres aux mêmes places...
Si P n'est pas un nombre premier, on raisonnera sur le groupe de
permutations de l'un quelconque des systèmes de lettres conjointes,
comme sur le groupe G, en remplaçant chaque indice par un certain
nombre de nouveaux indices, et l'on trouvera P = B.a, et ainsi de
suite; d'où enfin N = p", p étant un nombre premier...
Nous sommes donc arrivés à cette conclusion, que le groupe primitif
de permutations de je»2 lettres doit ne contenir que des substitutions de
la forme (A)...
Si l'on remplace par une seule lettre chaque système
de lettres conjointes, on aura un groupe dont toutes les substitutions
seront de la forme
-■ étant les nouveaux indices...
C'est à Poncelet et à Gauss que nous devons ce revirement et cette impulsion
nouvelle, qui n'est pas encore aujourd'hui assez universellement reconnue...
On peut en dire autant, bien que cela ait été peu observé jusqu'ici, des recherches célè-
célèbres d'Abel sur les intégrales de différentielles algébriques...
On ne peut douter en effet que Galois ait eu l'inten-
l'intention de rechercher, non seulement les groupes de substitutions, mais aussi, à un point
de vue tout à fait général, les groupes de transformations, et qu'il ait songé à en pour-
poursuivre les applications à l'analyse...
Pourtant, si de telles généralisations étaient au premier abord
immédiates, il n'est pas certain pour cela que la notion du groupe ait acquis dès à
présent une forme définitive...
La théorie de la courbure, due à Euler et Monge, peut être envisagée de même comme
la théorie des invariants différentiels du groupe des mouvements...
Les applications de la théorie des groupes discontinus, plus connues bien qu'elles
soient à peine plus importantes, ont conduit à de grandes découvertes dans la théorie
des fonctions et celle des équations différentielles...
Que nous représentent en effet les phénomènes naturels, si ce n'est une succes-
succession de transformations infinitésimales, dont les lois de l'univers sont les invariants ?
Sophus LIE...