Fermat P. Oeuvres mathematiques (1853)(fr)(KA)(T)(178s).djvu: eKnigu

Fermat P. Oeuvres mathematiques (1853)(fr)(KA)(T)(178s).djvu

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Date Oct 9, 2005

De sorte que la limitation de
Bachet est à peine digne d'un homme si eminent, puisqu'on
peut étendre à un nombre infini de cas, et à tous les cas pos-
possibles , ce qu'il n'a trouvé que pour deux cas seulement...
Ajoutons-en un quatrième dissemblable
et cependant de même aire :
1/I12881 , ., , 14.12880 , 1681 ,
Il89 hypothénuse, ^ii8g base, ——hauteur...
La limitation de Bachet est elle-même
insuffisante, de plus ses essais (^jusqu'au nombre 3z5J
n'ont pas été faits avec assez de soin, card'] tombe dans la
limitation et non dans la règle...
Je prends ,a=(N' -f-1K — 1,
P=B — N'K-I,y=23— I,a+P-1_y=9N:l— 9N'-fl4,
j'égale cette dernière expression à ( 3n'3,—4) et je trouve
, 2 •...
Ainsi, continue
Diophante, le produit de taire par taire sera 12, ce qui est
évident de soi-même...
De là se déduira une méthode, de trouver en nombres trois
triangles rectangles, dont les aires constituent un triangle
rectangle, ainsi que la question suivante : trouver un trian-
triangle rectangle dont la base et Vhypothénuse réunies soient le
quadruple de la hauteur; cela est facile, et le triangle sera
semblable à celui-ci...
Il faut donc chercher deuœ nombres b et d,par cette condi-
condition que le double du cube de l'un moins le cube de l'autre,
divisé ou multiplié par le dernier moins le double du premier
fasse un carré...
Voici deux
triangles: le premier dont l'hypothénuse sera 4 854366g r 09
la base 36083779^09, la hauteur 32472275580; le
second, dont l'hypothénuse est 42636752938, la base
41990695480, la hauteur 7394200038....
Ce sera le nombre de mesures du prix de cinq drachmes,
— sera le nombre de mesures du prix de huit drachmes...
) = 6a; pour que cette relation soit identi-
identique a celle que donne l'énoncé de la question, on posera
x=:——-, a=——...
Comme
les côtés 4 et 3 -j- N sont les côtés de l'angle droit d'un trian-
triangle rectangle, leurs carrés ajoutés doivent faire en somme un
carré...
Si on pose, au lieu de n , une quantité qui avec 4
fasse un carré,par exemple s*-\-^-&; le premier des nom-
nombres à égaler à un carré sera Na-}-4N45 VaT suite
{en remplaçant n par N * -f- 4 n) le second sera 2 n 3 -(- 8 N -|- 4,
et le troisième 5N2-j-2ON + 4-^e premier étant par la cons-
construction un carré, il résulte qu'il suffit d'égaler 1Na 4- 8 n -f- 4
et oNa-j-2ON-l-4 à des carrés On a donc une double éga-
égalité qui certainement donne une solution ; mais cette solution
découverte en fournit encore une nouvelle, et de celle-ci dé-
dérive une troisième ? et ainsi de suite à l'infini...
Nous ajoutons déplus, avec confiance, que les deux trian-
triangles que nous avons rapportés, pour la solution des deux
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questions proposées, sont les plus petits en nombres entiers
de ceux qui remplissent les conditions demandées...
Ainsi est donné un nombre formé d'un
carré et du double d'un carré qui est égal à un carré, avec
celte condition que les carrés qui le composent fassent aussi
en somme un carré...
Que si vous eutendez que le
nombre que vous demandez soit composé de trois carrés seule-
seulement, et non pas de quatre, en ce cas la question tient plus
du hasard que d'une conduite assurée; et si vous m'en envoyez
la construction, peut-être vous le ferais-je avouer...
Beaugrand; j'ai aussi
trouvé des nombres en proportion donnée, ou qui surpassent
d'un nombre donné leurs parties aliquotes, et plusieurs autres...