Chebyshev P.L. Oeuvres II (Chelsea, 1961)(fr)(T)(809s)_M

Chebyshev P.L. Oeuvres II (Chelsea, 1961)(fr)(T)(809s)_M_.djvu

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Date Jun 22, 2005

Désignant ces racines par
et leurs degrés de multiplicité par
et supposant que
désignent les nombres des racines de l'équation
ro = o
égales à
-1, -+-1,
— 379 —
nous remarquons que le produit
(x—xf^ix—xf*...
Appliquant aux intégrales
—i —i
ce que nous avons donné en général à l'égard des sommes et changeant le
signe du facteur auxiliaire X, nous trouvons que le polynôme Z de degré
m—1, qui procure le maximum ou le minimum de l'intégrale
—i
sous la condition
—i
*) Voir, T...
Passant à la détermination des fonctions
«!#(»), «!#(»), «?(*), «!#(*)
pour différentes valeurs de m, nous remarquons d'abord que la première
entre elles
correspondante à
p = O, Po = O,
se trouvera à l'aide du développement de l'intégrale
en fraction continue, cette fonction étant comme on l'a vu le dénominateur
de la m-me réduite...
— 399
D'ailleurs, le rapport
** M M «
ne changeant pas de valeur par le changement de 7 en —Y, on voit que
les limites de ce rapport déterminées dans la supposition que Y conserve le
signe -+- entre x = — 1 et a; = h- 1 auront lieu aussi dans le cas où Y
conserve le signe — entre x = — 1 et a; = -*- 1, et par suite lorsque en
général Y ne change pas de signe dans l'intervalle donné...
Ainsi en
vertu de ce théorème nous arrivons à la conclusion que le rapport
segment ACB
triangle ACD
ne surpassera pas la plus grande racine de l'équation
X = 0
la courbe parabolique étant de degré non supérieur à 2Z-+-1, ou de
l'équation
si ce degré ne surpasse pas 21...
Or, d'après la symétrie par rapport aux variables
les termes du premier genre auront la valeur commune
représentant le terme qui correspond à i = 0, k = 0, et les termes du se-
second genre auront la valeur commune
représentant le terme qui correspond à «= 0, k= 1; donc l'intégrale A)
que nous considérons se décompose de la manière suivante:
D)
dxn
...
(x0 — xn)
1.2 n '
ne sort pas, comme on le sait, des limites dans lesquelles reste renfermée
la dérivée
dnf0(x)
dxn
pour x = xOi a^, #2,....
SUR LA REPRÉSENTATION
DBS Y1LSÏÏRS LIHÏTIS DBS IHTÉ6RALSS
PAR DES RÉSIDUS INTEGRAUX...
Vu que dans ce cas les racines de l'équation
contenues dans les limites
sont
et les racines, contenues dans les limites
sont
nous pouvons représenter les sommes précédentes par les résidus intégraux:
En conséquence des valeurs limites trouvées pour l'intégrale
\f{x)dx
on aura donc
— 425 -
§ 2...
Ce théorème est applicable à la détermination des coefficients de la fonction
F{x), cette fonction ainsi que ses dérivées restant continues et finies entre
x = — h et x = •+- h...
d'où il suit
parceque la différence xx — H, d'après ce qu'on a vu, est différente de zéro
et les quantités xt, a?2,...
Q, l'équation
En considérant le second membre de cette équation, nous remarquons
que les deux termes qui y entrent représentent des expressions de de-
degrés négatifs, les fonctions L2Q, hm 0 (x) aux numérateurs étant de degré
n—1, d'après E) et G), tandis que les fonctions F(x) ■+■ 0 (x) Va?—A2,
(x -ï- Va;2— h?)n aux dénominateurs sont de degré n, d'après A) et E)...
— 348 —
En multipliant cette valeur de Pa par celle de F2 (a) qui d'après A4)
est égale à la somme
®* (X) @S _ ft») _j_ £2 @» _+_ 1J«j
nous trouvons
P2..F2(aO=<J.02(aO (a;2—Zi2J^Z2(a;3-Hl
ce qui donne
F*.F\x)—(?.&{x) (a;2-/i3K=Z2(a;2-i-l)
d'où l'on déduit, en décomposant le premier membre en facteurs:
[PF(x) -h Q0 (x) (x* — /i2)] [PF(x) — Q0 (x) (a2 - Wj] =
(a;2-h If1 [L*(x*-t- lJn-n(^_fti) (i^^-Hflj>(a.))]...