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Chebyshev P.L. Oeuvres II (Chelsea, 1961)(fr)(T)(809s)_M_.djvu |
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Size 7.0Mb Date Jun 22, 2005 |
Alf Aak un autre, ces points décrivant, dans le mouvement considéré du
triangle, des arcs infiniment petits, peu différents des arcs de cercle, peut
être utile dans tous les cas, où l'on veut qu'un point du triangle décrive une
courbe ayant avec un cercle plusieurs points communs, plus ou moins voisins
l'Un de l'autre...
Or nous avons vu que dans un pareil mouvement les points AXi A2 revien-
reviennent simultanément sur des circonférences tracées des centres Glf Ga...
ie m, XLIV TOMy 3airacoKi> HMnepaTopcKoô AKap;eMiH HayKi>, J6 2,
1888 r.)
(Lu le 23 décembre 1882.)
Sur le rapport de deux intégrales étendues
aux mêmes valeurs de la variable...
Posant pour abréger
— 382 —
nous allons nous occuper maintenant de la recherche du polynôme Z àe
degré donné pour lequel le rapport
Jz*e0 (*)<*»
—i
=-1
atteint sa plus grande ou plus petite valeur...
Cela posé, il est facile de déduire dans chaque cas particulier l'équation
à laquelle doit satisfaire la quantité auxiliaire X et de trouver l'expression
des divers polynômes Z pour les différentes valeurs de X qui satisfont à
cette équation...
C'est cette valeur limite du rapport
segment ACB
triangle ACD '
que le théorème démontré va nous donner, comme nous allons le voir tout
de suite...
dx
ce qu'on peut aussi représenter par
— ffo(PÙfi(Fi)F{**, *i)
où l'on a désigné par
F(x0, xx)
la fonction des deux variables x0, x1, déterminée par l'égalité
A3) F(x0, xx) =J9^ffl P*6** ****** • • • ' dxn-
§ 5...
En vertu des égalités que nous avons déduites à l'égard des valeurs
des fonctions So, S^ dans l'intégrale
et remarquant que le facteur P0<V d'après C) n'y change pas de signe,
nous concluons que pour certaines valeurs MOi M1 ne sortant pas des li-
limites entre lesquelles restent les dérivées
dnfg(x) M
dxn ' dxn
dans l'intervalle de x = a à x — b, aura lieu l'égalité suivante:
§ 6...
u
En désignant par
<fm (*)
la fraction ordinaire, à laquelle peut se réduire la fraction continue en
question, et en égalant le dénominateur ^m{z) à zéro, on obtient l'équation
à laquelle doivent satisfaire les limites u et v de l'intégrale
V
\f{x)dx...
En désignant par L le plus grand écart de zéro
entre x=—h et x=--*-h d'une telle fonction et remarquant que pour
toute autre fonction du même degré et ayant la valeur M pour x = H le
plus grand écart de zéro entre x = — h et x= •+- h surpassera L, nous
devons conclure que le rapport
M_
L '
correspondant à la fonction considérée, représentera la limite supérieure du
rapport de la valeur d'une fonction entière de degré n pour x = H au plus
grand écart de zéro de la même fonction entre x = — h et x = -*-h...
Parmi ces
n -t- 1 racines il y en aura au moins n — 1 différentes de — h et de -i- h;
ces n — 1 racines ne peuvent être racines simples, car, x passant par une
racine simple de l'équation C), F*(x) franchit la quantité L2, ce qui est
contraire à l'hypothèse...
Pour trouver L, la limite
de ces écarts, remarquons que l'équation D) nous donne pour x = h
d'où
L = F(h)...
(x—x^),
où le radical doit être pris avec celui des deux signes ± pour lequel le
rapport
se réduit à une quantité positive...
Or, d'après ce qu'on à démontré ci-dessus, l'expression
PF(x)— Q0(x)(x2 — h2)
est divisible par (a;2 -+- lJn, on en conclut la divisibilité du terme
[QF(x) — P0 (xjf (a;2 — ha)...
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