Chebyshev P.L. Oeuvres II (Chelsea, 1961)(fr)(T)(809s).djvu: eKnigu

Chebyshev P.L. Oeuvres II (Chelsea, 1961)(fr)(T)(809s).djvu

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Date Jun 22, 2005

Donc les équations que nous avons trouvées expriment l'égalité entre
les angles que font les droites GG1} GGa, Gfix avec l'axe des x, ou bien avec
la droite FG, qui lui est parallèle, et les compléments des angles que les
droites AM, A^, A^M font avec la ligne AAV
En vertu de cela, si l'on connaît un des deux points A1, A^ et le
centre Gx ou G2 qui lui correspond, on trouvera facilement un autre avec le
centre correspondant; car, d'après ce que nous avons montré, par chacun
des points Alf Ai} avec le centre correspondant, le triangle GGXG% est
complètement déterminé, et ce triangle donne l'inclinaison des lignes
à la ligne AAV
— 371 —
§ 7...
Posant pour abréger
— 382 —
nous allons nous occuper maintenant de la recherche du polynôme Z àe
degré donné pour lequel le rapport
Jz*e0 (*)<*»
—i
=-1
atteint sa plus grande ou plus petite valeur...
Passant à la détermination des fonctions
«!#(»), «!#(»), «?(*), «!#(*)
pour différentes valeurs de m, nous remarquons d'abord que la première
entre elles
correspondante à
p = O, Po = O,
se trouvera à l'aide du développement de l'intégrale
en fraction continue, cette fonction étant comme on l'a vu le dénominateur
de la m-me réduite...
Remarquant que la formule
est également susceptible de donner des valeurs positives ainsi que des va-
valeurs négatives nous concluons que les limites supérieures de sa valeur, dé-
déterminées de la manière indiquée, représentent en mêmes temps les limites
supérieures de ses valeurs numériques...
Désignant par
les coordonnés des points A, G et remarquant que y = f(x), nous trouverons
AD — xx — x0, GD = yx — y0 = f(xj — f(x0),
ce qui nous donne l'expression de l'aire du triangle AGD que voici:
ce qu'on peut représenter sous la forme:
= Z~* \f{x)dx...
SUR LA REPRÉSENTATION
DBS Y1LSÏÏRS LIHÏTIS DBS IHTÉ6RALSS
PAR DES RÉSIDUS INTEGRAUX...
Or, comme toutes les valeurs de la fonction F(x), tant entre
les limites x = —h et x= -*-h, que pour x = H, peuvent être modifiées
dans un rapport voulu à l'aide de l'introduction d'un facteur constant, nous
allons nous borner, pour simplifier l'exposition, à la supposition que la fonc-
fonction Fix) ait une valeur donnée M pour x = H et nous allons chercher
ensuite parmi toutes les fonctions entières, satisfaisant à la condition
F (H) = M
et étant d'un degré donné n, celle qui entre x = — h et x =*■-+-h s'écarte
le moins possible de zéro...
X^ différentes de zéro, comme cela doit
nécessairement avoir lieu, d'après le théorème mentionné, pour la fonction
F(x) que nous considérons...
{x— xn^\
où le signe du radical ± V G se détermine de la sorte que le terme du plus
haut degré de 0 (x) ait le même signe que le terme analogue de F(x)...
Pour déterminer la constante C1} remarquons que d'après le § 1
la fonction F(x), pour x = H, est égale à M...
,
— 362 —
Nous aurons donc, dans le cas considéré, cette égalité:
2 [a sin A sin a -+- a cos A cos a — aj Vr2 — (m sin « + if + rJ + x*
-+- 2 [am sin A sin a -+- a F — î/JsinJ.— aa^ cos A] cos a h- yl (y1— 26)
— 2am cos -4 sin2 a -+- 2 [a (yx — 6) cos A — axx sin A — wm/J sin a -+- a2
= r^ -»- 2rxiT0 (sin a — sin aj5 -»-......
Le passage que nous venons de signaler d'un des deux points
Aly A3k un autre, ces points décrivant, dans le mouvement considéré du
triangle, des arcs infiniment petits, peu différents des arcs de cercle, peut
être utile dans tous les cas, où l'on veut qu'un point du triangle décrive une
courbe ayant avec un cercle plusieurs points communs, plus ou moins voisins
l'Un de l'autre...