Chebyshev P.L. Oeuvres I (Chelsea, 1961)(fr)(T)(689s)_M

Chebyshev P.L. Oeuvres I (Chelsea, 1961)(fr)(T)(689s)_M_.djvu

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Date Jun 22, 2005

dans nos formules, on trouve que la fraction —, depuis x = — h jusqu'à
x = -*~h, reste effectivement comprise entre —L et -+- L...
Or, en prenant cette valeur pour p et posant [x = 2X0, ou obtient
2X-H 2X—|x-*-i 2X-1-I 2(X—X
T<' ...
Cette
valeur de la fraction cherchée peut présenter deux cas; savoir: celui où d
est un nombre pair, et celui où d est impair...
D'où l'on voit, d'une part, que-j^0, dans la
suite des fractions convergentes de 1/ "*" _T~ l ^, est la dernière arec le
dénominateur de degré au-dessous de -^-, et de l'autre, que parmi ces frac-
fractions aucune n'a pour dénominateur une fonction de degré ^...
En vertu de ce que nous venons de montrer sur les fonctions
m, iv, jy—y —=r
il est facile de voir que la fraction
u
F'
déterminée par la formule B4), se réduit à la forme
p(n—l-*-i) xl + p(n—l-+-2)xl—1+ .+.z>{n) x
En effet, son numérateur
(w — Lo) DP — (a-*- Lo) («2 — A2) N2
— 340 —
peut être mis sous la forme
—^tq—J,
et comme les fonctions
u M N
sont respectivement de degrés
n — Z, a+1, a, 1,
et que le degré de la différence
M i/(u-t-Jo)(a!»-ft»)
jv r « - i0
est plus petit que —B a-»- 1), on trouve pour cette expression un degré
inférieur à n — l, et, par conséquent, elle sera de la forme
En passant à son dénominateur
remarquons qu'il peut être mis sous la forme
(m - Lo) M2 — (m -f- Lo) {x2 - h2) N2 _^_ T i!/2 -t- (x2 — h2) N2
• ■ I JL/n *
et comme les fonctions
M, N, u
sont respectivement de degrés
a -f- 1, a-, n — l,
et que
(m - Lo) M" — (m ■+- Lo) (*" — à2) iVr2,
en vertu de ce que'nous venons de voir, est d'un degré plus petit que n—l,
on trouve que le degré de cette expression est égal à 2 a •+- 2 — (n — T)...
Ainsi nous nous assurons que la fraction y qu'on trouve d'après
B4) est de la forme
p'xn~l~l -*-p"xn—1~--
p(n—l-*-i) jti + ^fl-Mœ'-iH- -t-p(n) x -+.p(»-*-i) '
et que sa différence avec u, depuis x = —h jusqu'à x = -*-h1 reste
...
Comme on ne peut
gagner au delà d'une certaine limite sous un de ces rapports sans perdre
sous l'autre, il est impossible de donner une méthode d'interpolation qui
soit en général préférable à toutes les autres; car, suivant les cas, on tient
plus ou à la simplification des calculs, ou à la précision des résultats...
Ainsi l'on s'assure qu'en dénotant par
2
la dernière des réduites de 1/ -— e2 x "* dont le dénominateur est de
y x — a
degré inférieur ày+1, et en faisant abstraction des facteurs communs
des fonctions ^ (a;), 9 (x) qui n'ont aucune influence sur la composition de
nos formules définitives, on aura
où <70 est une constante, et par là, en vertu de F), les quantités
seront déterminées par la résolution des équations
2
Pn=O...
Parmi les valeurs restantes
celle qui est numériquement la plus grande sera égale à la valeur cherchée
de s...
D'après cela, comme le nombre y-f-1, pour w = 4, devient 3, on cher-
cherchera, suivant le § 5, la valeur de s parmi les racines réelles de ces équa-
équations...
t-Anxn,
tant qu'on a un nombre suffisant de valeurs de F(x)y à l'aide desquelles les
intégrales
F(x)dx, F(x)dx, F(x)dx
sont évaluables avec une approximation suffisante...
Remarquons encore que si l'on remplace la variable
X
par la valeur
les formules que nous venons de trouver pour la détermination des coeffi-
coefficients KOi K1}...
IU/Ç()J
«29 «2«
En cherchant de la même manière l'équation qui détermine le coefficient K2,
on prendra
1 = 2,
— 439 —
et on aura
s = 919,13, v = 2, 7), = — 6,125, 7J=6,125,
i'=7, i" = 21...