Chebyshev P.L. Oeuvres I (Челси, 1961), Chebyshev P.L. Oeuvres I (Chelsea, 1961)(fr)(T)(689s).djvu:

Chebyshev P.L. Oeuvres I (Челси, 1961)

Chebyshev P.L. Oeuvres I (Chelsea, 1961)(fr)(T)(689s).djvu

Size 6.4Mb
Date Jun 22, 2005

Cites: , qu'elle s'exprime ainsi:
Comme toutes les autres fractions avec le dénominateur
et le numérateur
-*-p{n~l> x -+-p{n\
entre x = — h et x — -+~ h, s'écarteront de zéro plus que celle dont nous
venons de parler, il en résulte que, dans cet intervalle, leur valeur ne pourra
pas être au-dessous de la valeur trouvée de L...
Mais tant que />(n"*) n'est pas zéro,
cette fonction peut être évidemment mise sous la forme
w_/_l x -+-pn_i
Pn—
en dénotant
p' p" p(.n~ l~ i) p(n—t) p(n—l-*-\) p(n)
p(n-+-l)' j,(n-+-i)'* ' * * p(n-t-i) ' ^(n-i-i)' p(n-*-i) »* *
par
C'est sous cette forme que nous chercherons la fraction dont il s'agit...
D'où nous tirons l'équation
A8) (u V — Uf — L2 F2 = W2 (x2 — h2),
en désignant par W la fonction entière
V~C(x — xt) (x — xn_d)...
comme Wx, le dénominateur de la fraction ^, n'est que de degré
^~ 1 < " , cela ne peut avoir lieu, à moins qu'elle ne soit l'une des
fractions convergentes de l'expression
Y
(u -+■ L) {x'1 — h2)
u — L '
qu'on trouve par son développement en fraction continue...
+.p(n~l—i) (nl)
p(n—f—•—i) jjî _|_ p(n—l-t-2) xl—i_j_ _|_ *)(") x
qui, depuis x = —h jusqu'à x = -+-h, s'écarte le moins de u...
urn
2~
en remarquant que les dénominateurs
dans la fraction continue
comme nous l'avons vu (§ 51), sont égaux à 2x, nous trouvons
h G G hl
n
2
G——h- G— — - G ——
"— 2 ' i— 2'*'* n_t_...
J-n-t-i
2 ~2
sont
et que la valeur précédente de ^ peut être mise sous la forme
en désignant par -^f la ièma fraction convergente de
>■
nous concluons qu'on aura
Jf = p \-i V 2V, — P
Mais en vertu de ces valeurs de M et N l'expression précédente de y de-
devient
,) jx-h) [pi**1 ~k) N.-P i*** -*) Mjf-ju+Lo) (x+h) [Q (^ "*) N4-Q (^ "')
D'où, par la substitution des valeurs de
d'après C3), on obtient les mêmes expressions de U et F, que dans le cas
— 370 —
de n pair (§ 54), et dans lesquelles, conformément à ce que nous avons vu
(§ 59) sur les équations qui déterminent L = L0, la quantité Lo se trouve
remplacée par — LQ...
Donc, en vertu de ce que
nous avons montré dans le § 53 sur la détermination de L~L0, on aura
en supposant qu'on prend le radical avec le signe contraire à celui de A...
Dans mon Mémoire sur les fractions continues, présenté à l'Académie
en 1855 et publié dans ses Mémoires (Tome ET), je suis parvenu à une
formule qui, d'après les valeurs données d'une fonction, affectées d'erreurs
quelconques, fournit directement sa valeur sous la forme d'un polynôme
avec des coefficients indiqués par la méthode des moindres carrés...
En effet, si l'on a
dans nos formules fondamentales A), B), C), p termes s'éliminent, et le
reste devient identique à ce qu'on trouverait en prenant
v = w —p,
au lieu de
C'est pourquoi, dans les recherches de 7jn ïJ,...
D'où l'on voit que parmi les réduites de la
fraction continue, résultant de \/—ra e2x~t~\ celle qui détermine la va-
valeur de ^~ est la dernière avec un dénominateur de degré inférieur à
y-+- 1...
— 399 —
la plus grande parmi celles qui restent, correspondra, évidemment, à la so-
solution cherchée de notre problème, où il s'agit de rendre la quantité
s=
aussi grande que possible...
D'où l'on voit que la réduite
2 _
Qn-t-i 9(*)'
2
dont le dénominateur est de degré non supérieur à ^4-^, est suivie im-
immédiatement de la réduite
avec un dénominateur de degré plus élevé que r^~...