Chebyshev P.L. Oeuvres I (Челси, 1961), Chebyshev P.L. Oeuvres I (Chelsea, 1961)(fr)(T)(689s).djvu:

Chebyshev P.L. Oeuvres I (Челси, 1961)

Chebyshev P.L. Oeuvres I (Chelsea, 1961)(fr)(T)(689s).djvu

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Date Jun 22, 2005

Cites: Nous allons montrer maintenant qu'on doit prendre
si l'on désigne simplement par des radicaux
V Y a22'—'
celles des racines des équations
a i h2 a -i h2
X—i j-j, X — 1 —%, ,
dont la partie réelle est positive...
Si Véquation
ne contient qiCun ternie KQ x2X" avec la puissance paire de x et que le coeffi-
coefficient de ce terme soit de même signe que le terme connu K et Vexposant ne
■— 338 —
surpasse pas X, cette équation a au moins une racine, comprise entre les
limites
2(X—X0)-»-l
2(X—X
Si les termes KQ%2X° et K sont de sigues contraires, on trouvera,
d'après le théorème 11, au moins une des racines de l'équation
dans ces limites plus rapprochées:
2X-4-1 2X-+-I
/ /
Donc, si Ton désigne par KQ, K des valeurs positives, les limites
2(X— X0)-t-l
2(X— Xp)-t-l
contiennent nécessairement au moins une racine de l'équation
or*-1-*-Car»-h ±ro/'-H + ^±1=0,
quels que soient les signes des termes KQo^x° et K...
(x-xn_d)\
en remarquant que la fonction (x2 — h2) [(«F— UJ — U F2], où
l—d
ne peut être de degré plus élevé que son diviseur
/y* /y* î* ( /y* _____ /y* \- j /y* ^__ «7* i- l /y* ....
En vertu de ce que nous venons de montrer sur les fonctions
m, iv, jy—y —=r
il est facile de voir que la fraction
u
F'
déterminée par la formule B4), se réduit à la forme
p(n—l-*-i) xl + p(n—l-+-2)xl—1+ .+.z>{n) x
En effet, son numérateur
(w — Lo) DP — (a-*- Lo) («2 — A2) N2
— 340 —
peut être mis sous la forme
—^tq—J,
et comme les fonctions
u M N
sont respectivement de degrés
n — Z, a+1, a, 1,
et que le degré de la différence
M i/(u-t-Jo)(a!»-ft»)
jv r « - i0
est plus petit que —B a-»- 1), on trouve pour cette expression un degré
inférieur à n — l, et, par conséquent, elle sera de la forme
En passant à son dénominateur
remarquons qu'il peut être mis sous la forme
(m - Lo) M2 — (m -f- Lo) {x2 - h2) N2 _^_ T i!/2 -t- (x2 — h2) N2
• ■ I JL/n *
et comme les fonctions
M, N, u
sont respectivement de degrés
a -f- 1, a-, n — l,
et que
(m - Lo) M" — (m ■+- Lo) (*" — à2) iVr2,
en vertu de ce que'nous venons de voir, est d'un degré plus petit que n—l,
on trouve que le degré de cette expression est égal à 2 a •+- 2 — (n — T)...
celle des fractions convergentes de
1l/(M-t-X0)(a;-t-/i)
Y (u-LJix-h)-
2h
qui correspond au dénominateur qa...
J-n-t-i
2 ~2
sont
et que la valeur précédente de ^ peut être mise sous la forme
en désignant par -^f la ièma fraction convergente de
>■
nous concluons qu'on aura
Jf = p \-i V 2V, — P
Mais en vertu de ces valeurs de M et N l'expression précédente de y de-
devient
,) jx-h) [pi**1 ~k) N.-P i*** -*) Mjf-ju+Lo) (x+h) [Q (^ "*) N4-Q (^ "')
D'où, par la substitution des valeurs de
d'après C3), on obtient les mêmes expressions de U et F, que dans le cas
— 370 —
de n pair (§ 54), et dans lesquelles, conformément à ce que nous avons vu
(§ 59) sur les équations qui déterminent L = L0, la quantité Lo se trouve
remplacée par — LQ...
Cette for-
formule comprend, comme cas particuliers, les développements connus des
fonctions suivant les cosinus des arcs multiples et suivant les valeurs de
certaines fonctions désignées par X{n\ On tire de notre formule plusieurs
autres séries, en faisant différentes hypothèses particulières sur la suite des
valeurs connues de la fonction cherchée...
et sommant depuis i = 1 jusqu'à i = n,
on en tire cette formule:
3[St(n-»)A»t-]2 5 [Si (i h- 1) (n - ï) (n - i - 1) A«ufl»
n 12 n (n2 — I2) ft2 I2.22n (n2 — l2) (n2 — 22) h*
7 [St (»
H
.22.32 .n (n2 — l2) (n2 — 22) (n2 — 32)
qui, à son tour, dans le cas de
et n infiniment grand, devient
Notons encore que les fonctions
A (se — h) (x — nh — h),
A2(x — h) (x—2h) (x — nh — h) (x — nh — 2h),
A3(x — h) (x — 2h) (x — 3h) {x — nh—h) (x — nh—2h) (x — nh — 3h),
qui entrent dans notre série, sont très remarquables par des propriétés ana-
analogues à celles des fonctions de Legendre X[n\
— 384 —
Ces fonctions, en outre, fournissent des expressions approximatives de
la somme
qui jouissent de la même propriété importante que celles qui ont été don-
données par Gauss pour les quadratures...