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Bourbaki N. Topologie generale (Elements de math.)(fr)(KA)(T)(366s)_M_.djvu |
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Size 3.2Mb Date Sep 22, 2003 |
aucune difficulté (surtout lorsqu'on dispose aussi de la notion de filtre) à étendre à
ces espaces presque toute la théorie des espaces métriques, telle qu'elle est ex-
exposée par exemple par Hausdorff (et à étendre de même, par exemple, à tous les
espaces compacts, les résultats exposés pour les espaces compacts métriques dans
la Topologie d'Alexandroff-Hopf (X) )...
Si V est un voisinage de e dans G, et A une partie non vide quelconque de G, VA
et AV sont des voisinages de A ; en effet, si W est un voisinage ouvert de e contenu
dans V, WA et AW sont ouverts et contiennent A...
Tout filtre 23 sur G vérifiant (GV^ et (GVn) vérifie aussi
(GVO) Quel que soit U e 23, il existe V e 23 tel que V.V'1 <= U...
Les topologies définies de cette manière jouent un grand rôle en
Théorie des nombres (voir les exerc...
Soit M' l'ensemble M u M; il est connexe, puisque M, image de M par
l'application continue x h» x'1, est connexe (I, p...
L'espace topologique E/R est
appelé l'espace des orbites du groupe G dans E, ou encore l'espace quotient de E par le
groupe G, et on le note E/G ; on dit aussi que la topologie de E/G est la topologie
quotient de celle de E par G...
(s.x) quels que soient s e G, s' e G', x e E; alors
la relation d'équivalence S définie par G' est compatible avec G, et comme elle est
ouverte (III, p...
, lemme 2), il suffit de
montrer que (x, y) h» xy ~x est une application continue de G x G dans G/H
(I, p...
Cette translation, qui revient à
composer x'1 avec x et y respectivement, peut d'ailleurs se faire à droite ou à
gauche; nous allons voir que, dans chacun des deux cas, on obtient effectivement
une structure uniforme sur G compatible avec la topologie de G...
Tout automorphisme intérieur x \-> axa ~1 de G est donc à la fois un automorphisme
de la structure de groupe, de la topologie, et de chacune des deux structures uni-
uniformes de G...
aux fonctions x(yz) et (xy)z définies dans Gd x Gd x Gd, et égales dans le sous-
espace partout dense Gd x Gd x Gd, on voit que la loi de composition (x, y) \-> xy
est associative dans Gd...
§ 4, N°, 1 GROUPES OPÉRANT PROPREMENT TG III.27
En effet, si Ax est l'adhérence de A dans G1,/(A1) est contenu dans l'ad-
l'adhérence de A dans G2, égale à A par hypothèse...
Pour tout sous-groupe fermé A de G, la bisection
canonique de A/ (A n K) sur cp(A) est un isomorphisme de groupes topologiques...
Soit F l'espace compact obtenu en adjoignant à G un point à l'infini m et
soit F le graphe de p: (s, x) t-> s.x considéré comme partie de F x E x E;
montrons que si la restriction à F de pr23 est propre, F est fermé dans F x E x E...
En particulier, pour qu'un groupe discret G opère proprement dans un espace
localement compact E, il faut et il suffit que, pour toute partie compacte K de E,
l'ensemble des s e G tels que s...
Si 5A) désigne l'ensemble des parties finies de I, on définit ainsi une
t e 0
application J h-> Jj de ff(I) dans G...
D'une manière plus imagée, on peut dire que, si on a une famille sommable dans
un groupe complet, on peut associer arbitrairement ses termes en sous-familles et former
la somme de chaque sous-famille ainsi obtenue; la famille de ces sommes partielles
est encore sommable, et sa somme est égale à celle de la famille donnée...
Pour qu'une famille (atJ ieIde points de G soit sommable, il faut et il suffit que, pour
tout X e L, la famille (prA xt)ieI soit sommable; si s^ est sa somme, s = (s^) est la somme
de la famille (#t)...