Bourbaki N. Topologie generale (Elements de math.)(fr)(KA)(T)(366s)_M

Bourbaki N. Topologie generale (Elements de math.)(fr)(KA)(T)(366s)_M_.djvu

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Date Sep 22, 2003

Les espaces métriques sont des « espaces uniformes » de nature particulière ;
les espaces uniformes n'ont été définis d'une manière générale qu'en 1937, par
A...
x t-> ax, x t-> xa) où a parcourt G, un sous-groupe de ce groupe d'homéomorphis-
d'homéomorphismes...
En particulier, l'adhérence N de l'ensemble {e} réduit à l'élément neutre de G,
est un sous-groupe distingué de G; pour qu'il se réduise à e, il faut et il suffit (III,
p...
On note souvent une telle loi à
droite: (s, x) h-> x.s (d'où la terminologie), et on a alors (x.t) .s = x...
Si G est un groupe topologique, et N l'adhérence de {e} dans G, N est un sous-
groupe distingué fermé de G (III, p...
Or, si u e U, h e H sont tels que uh e Go, il y a un voisinage
symétrique V de e dans G tel que kV c U; comme Wh est un voisinage de h dans
G, il existe z e V tel que zh e Ho; mais alors uz~x e U et on a uh = (mz~1)(z^)...
Il revient au même de dire que la restriction à L de l'applica-
l'application canonique G -> G/N est un isomorphisme du groupe topologique L sur le
groupe topologique G/N...
En effet, voit V un voisinage quelconque de e dans G; il existe un
ensemble A eff, petit d'ordre Vd; prenons pour a un point de A; si a: et x' sont
deux points quelconques de A, on a l'a e V et ax^1 e V...
Pour tout homomorphisme continu/: Gx -> G2, il existe
un homomorphisme continu/: Gx -> G2 et un seul rendant commutatif le diagramme
r f r
Giy*G2
où 9! et 92 sont les homomorphisme s canoniques...
Pour tout couple de parties K, L de E, nous noterons P(K, L) l'en-
l'ensemble des s e G tels que s.KnL # 0...
est
saturé pour la relation d'équivalence définie par H, et que cette relation est
ouverte (III, p...
En effet, si j = Z\ xl} et si Z\ xL e s + V pour toute partie
t G I t G J
finie J contenant la partie finie Jo, on aura Z\ yK e s + V pour toute partie finie L
de K contenant 9 (Jo)...
Il suffit de la démontrer lorsque L = {1,2}; on procédera ensuite par ré-
récurrence sur le nombre d'éléments de L...
Si la série de terme général xn est convergente, on a en particulier
lim xn = lim (sn — sn_1) = 0; mais cette condition nécessaire de convergence
n-* oo n-* oo
n'est nullement suffisante en général, même lorsque G est complet (voir IV,
p...
Pour une telle permutation, la série de terme général xain) ne saurait
être convergente, d'où la contradiction annoncée...
Somme directe topologique de sous-groupes stables
Comme l'étude des groupes commutatifs à opérateurs est équivalente à celle des
modules (A, III, p...
, corollaire)
-î
p(E) — v(u(E)) = v(F) admet dans E un supplémentaire topologique p@);
-î -î
mais comme u(p(x)) = u(x) par hypothèse, on a m@) = /(O)...
toute
N° 3 GROUPES TOPOLOGIQJJES À OPÉRATEURS TG 111.49
homothétie à droite x h-> xa) est continue (et est un homéomorphisme si a est
inversible)...
En particulier, l'adhérence N de 0 dans A est un idéal
bilatère fermé, d'après la prop...
Nous allons voir qu'en prenant {x, y) et (x', y') dans un ensemble assez petit de
H x 23, et en choisissant convenablement xx et yx, on peut rendre très petit
chacun des termes du second membre...
— Etant donné un anneau topologique A, on appelle module topologique à
gauche sur A un ensemble E, muni:
1° d'une structure de A-module à gauche;
2° d'une topologie compatible avec la structure de groupe additif de E et satisfaisant en
outre à l'axiome suivant:
(MT) L'application Çk, x) h> ~kx de A x E dans E est continue...