Bourbaki N. Topologie generale (Elements de math.)(fr)(KA)(T)(366s).djvu: eKnigu

Bourbaki N. Topologie generale (Elements de math.)(fr)(KA)(T)(366s).djvu

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Date Sep 22, 2003

IX)
telles que la distance de xn + p à xn soit aussi petite qu'on veut dès que n est assez
grand ; de là enfin le nom de « filtre de Cauchy >> donné à la généralisation des
suites de Cauchy qui a été étudiée dans ce chapitre...
De même, considérons, dans le groupe additif R x R, l'ensemble A des couples
(x, y) tels que x 5= 0, 0 < # < I t, et l'ensemble B des couples (x, 0) (x par-
courant R) ; ils sont fermés, mais A + B est l'ensemble des couples (x, y) tels que
0 < y < 1, et n'est pas fermé dans R x R.*
Soient E un espace topologique,/et g deux applications de E dans un groupe
topologique G...
S'il existe une topologie répondant à la question, le filtre des voisinages de a
est identique à chacun des deux filtres a.23 et 23.a d'après ce qui précède, ce qui
TG III.4 GROUPES TOPOLOGIQJJES § 1
montre l'unicité de cette topologie...
L'intersection de deux sous-groupes étant un sous-groupe, on peut définir une
topologie de groupe sur G à partir d'un ensemble quelconque 5 de sous-groupes de G;
il suffit de considérer l'ensemble © des sous-groupes a.H.a'1, où H parcourt ^ et a
parcourt G, puis l'ensemble 23 des intersections finies de sous-groupes appartenant à
©; 23 est une base de filtre, et satisfait à (GVJn)...
Soient A
une partie quelconque de E, A' le sous-espace de E saturé pour la relation
d'équivalence R définie par G (réunion des orbites des points de A ; on dit aussi
que A' est le saturé de A par G) ; G opère continûment dans A' par la restriction de
(s, x) t-> s...
Un homomorphisme continu d'un groupe topologique G dans un groupe
TGIII.16 GROUPES TOPOLOGIQUES §2
topologique G' est encore appelé un morphisme de G dans G' pour les structures de
groupe topologique (cf...
) Soit/un homomorphisme continu d'un groupe topologique G dans un
groupe topologique G', et soit H un sous-groupe distingué de G; par passage aux
quotients, on déduit de f un homomorphisme g du groupe G/H sur le groupe
quotient/(G)//(H)...
Cette translation, qui revient à
composer x'1 avec x et y respectivement, peut d'ailleurs se faire à droite ou à
gauche; nous allons voir que, dans chacun des deux cas, on obtient effectivement
une structure uniforme sur G compatible avec la topologie de G...
et des formules Vd(x) = V.x, Vd(A) = V.A, V,(*) = *.V, V,(A) = A.Vqui
en découlent immédiatement...
Il en est toujours ainsi lorsque cer-
certains des Gt sont commutatifs, et les autres compacts...
Or, on peut
écrire x = sa et y = ta, avec s, t dans Vo, et on a alors yx = ts^1 ety~1x =
a^1f xsa...
x) est un homéomorphisme de
G x E sur F; l'application composée G x E—> F —^> E x E n'est autre que 6...
Soit F l'espace compact obtenu en adjoignant à G un point à l'infini m et
soit F le graphe de p: (s, x) t-> s.x considéré comme partie de F x E x E;
montrons que si la restriction à F de pr23 est propre, F est fermé dans F x E x E...
Cette condition nécessaire pour qu'une famille (xL) soit sommable n'est nullement
suffisante en général, même lorsque G est complet; on en verra de nombreux exemples
par la suite (voir IV, p...
Considérons par exemple le cas où I = L x {1, 2} (L infini), 1^ étant
formé des deux éléments [~k, 1) et (>., 2); si on prend x^^i = a, x\>2 = — a, où a est
un élément ^ 0 de G, toutes les sommes partielles correspondant aux 1^ sont nulles,
donc le premier membre de A) est défini et égal à 0, tandis que le second membre
de A) n'a pas de sens, comme le montre la prop...