Bourbaki N. Theorie des ensembles (Elements de math.)(fr)(KA)(T)(349s).djvu: eKnigu

Bourbaki N. Theorie des ensembles (Elements de math.)(fr)(KA)(T)(349s).djvu

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Date May 5, 2004

On procédera en deux étapes:
a) Si E est fini et a n éléments, procéder par récurrence sur n: soit a un élément minimal de
E et soit E' = E — {a}...
Dans S4$(A), on considère l'ensemble E formé des
éléments {x} et A — {x}, où x parcourt A; montrer que n est le plus petit des entiers m tels que
E, ordonné par inclusion, soit isomorphe à un sous-ensemble d'un produit de m ensembles
totalement ordonnés (utiliser a))...
Card<H) = 2n 2n + 1 ^ Card(I) Hcl, Card(H) - 2n +
(raisonner par récurrence sur Card (!;).#
§ 5 EXERCICES E III.84
b) En particulier, soient A un ensemble, (B;)ie x une famille finie de parties finies de A, B la
réunion des Bf...
(Raisonner par l'absurde,
en supposant qu'il existe par exemple des A: tels que Card(Ai) < m — q, et considérer ceux
des A, pour lesquels Card(Af) a la plus petite valeur possible m — q — s (avec s 3= 1) ; soient
par exemple Ax, ...
(Raisonner par récurrence: on montrera qu'on
peut prendre tn^h, k) = h + k — 1, mt(i, k) = k et mt(h, i) = h, et enfin mt(h, k) =
m,_1(m,(/î — 1, k), niiih, k — 1)) + 1...
En particulier, il existe une Suite finie décroissante
'3i)i«j<m et une seule telle que
On désignera par <p(a) le plus grand ordinal coBi de cette décomposition...
a)) ; si a est fini et (B = a>y, on a a? = c»v; si a est infini et si
te est le plus grand ordinal indécomposable qui soit ^ a, montrer que aB = rcB (utiliser
l'exerc...
b) Soient a>a un ordinal initial, F un ensemble tel que 2 ^ p = Card(F) < Ha; soit E
l'ensemble des applications dans F des segments de a>a distincts de <x>a; on a Card(E) =g p**...
A toute application g e 2K de X dans 2, faire correspondre l'élément fe E tel
que pour X = (xk)iikCj 6 Xy on ait /(À) = {g(\i), ■ ■ -, g{x,))', montrer que l'ensemble F
des f e E ainsi définis répond à la question.)
r 28) Soient E un ensemble infini, (Xi)imm une partition finie de l'ensemble ^n(E) des
•.larlies de E ayant n éléments...
E III.95 ENSEMBLES ORDONNÉS, CARDINAUX, NOMBRES ENTIERS § 7
Pour tout a 6 I, soit Ga une partie non vide de Ej,, telle que les conditions suivantes soient
vérifiées :
Ie deux éléments distincts de Ga ne sont pas comparables;
2° pour i<p, on a/aB(GB) = Gx; _1
3° pour a s; pet pour tout xx e Ga, ./^(-O a un plus grand élément MotB(,ïo() dans EB;
4° pour a î£ p, si hB est un element de EB tel qu'il existe y B e G8 pour lequel ye ^ he, alors,
pour tout xa 6 Gœ tel que xa ^ fae(hs), il existe xB e GB tel que .vB î£ Ab et *„ = /aB(*B)...
) Soient I un ensemble préordonné filtrant à droite, (E^, f^) un système inductif d'en-
d'ensembles relatif à I; pour tout a 6 I, soit/œ: Ea —> E = lim Ea l'application canonique...
Mais
ce manuscrit paraît être resté ignoré des contemporains, et les résultats n'en sont
que peu à peu retrouvés par les mathématiciens des siècles suivants...
, En, et nous le
désignerons, dans les raisonnements généraux qui vont suivre, par la notation
Exemple...
Dire que R est transportable (dans S~)
pour la typification T, les xt ( 1 ^ i ^ n) étant considérés comme ensembles de base princi-
principaux et les Ah A ^ h ^ m) comme ensembles de base auxiliaires, c'est dire que la
condition suivante est satisfaite :
Soient yu ■...
, En (comme ensembles
de base principaux) et soit U' une structure de même espèce sur des ensembles
E[,...
, xn; on dit alors
que la structure d'espèce 0 déduite de s par le procédé P est sous-jacente à s...