| Home / lib / M_Mathematics / | ||
Bernshtejn S.N. Sobranie sochinenij, tom 1 (AN SSSR, 1952)(ru)(K)(600dpi)(T)(582s)_M_.djvu |
|
Size 13.6Mb Date Jun 21, 2005 |
значений / (х) в некоторой системе узлов, число которых неограни-
неограниченно возрастает, если воспользоваться соответствующими интерполя-
интерполяционными многочленами Лагранжа...
Докажем, что искомый наивыгоднейший многочлен Ап^\ (х) есть
Sn (х) = У1 — х2 sin n arc cos x, B3)
так что
ак = cos (k = 0, 1, ..., п)...
Обозначим через Rn{%) интерполяционный многочлен Лагранжа,
соответствующий узлам а17 .....
Все функции, которые для бес-
бесчисленного множества значений п на некоторой части отрезка дают
то же самое наилучшее приближение, что и на всем отрезке, очевидно,
являются (неустойчиво) экстраполируемыми...
Подобным же рас-,
суждением устанавливается существование левой производной /' (х)...
В частности, целая функция обладает абсолютно ограниченным пол-
полным изменением на любом конечном отрезке вещественной оси, и обратно...
Возьмем теперь интерполяционную формулу Ньютона
f(x) = f(a)+
и положим
(х — а) • • • (х — а — п — lh)
Определяя число Н по условию, чтобы уравнение C8) удовлетворя-
удовлетворялось при некотором данном значении х, мы убеждаемся, что это урав-
уравнение будет иметь п + 1 корней в промежутке ab...
С этой целью заметим, что если
| /(п) (х) | > Nn на отрезке OR,
то неизбежно (см...
Следова-
Следовательно, как заметил Линделёф в указанном мемуаре, нельзя вообще
утверждать, что функция у F (#)> имеющая мажоранту / (х) рода 0, сама
также будет нулевого рода...
Последовательно повторяя это рассуждение,
мы установим, что неравенства A0) справедливы при всяком N...
Таким образом,
¦S-Y i/.J^l <« VT+4 C3)
Требуемый вывод вытекает непосредственно из C3) благодаря следую-
следующей теореме Карлемана1...
Другими словами: для рп>0 расходимость ряда (8)
(означающая, что функция G) рода ^> 1) влечет расходимость ряда F)<
Действительно, достаточно доказать расходимость ряда
поскольку из убывания членов этого ряда, по A5), вытекает, что его
расходимость обязательно влечет за собой расходимость ряда F), члены
которого превосходят соответствующие члены ряда C5)...
| © 2007 eKnigu | ||