| Home / lib / M_Mathematics / | ||
Bernshtejn S.N. Sobranie sochinenij, tom 1 (AN SSSR, 1952)(ru)(K)(600dpi)(T)(582s)_M_.djvu |
|
Size 13.6Mb Date Jun 21, 2005 |
функцию / (х) экстраполируемой, если узлы можно выбрать так, чтобы
многочлены Лагранжа определяли по крайней мере одну функцию
вблизи данного промежутка...
Мы приходим, таким образом, к сле-
следующему заключению...
Аналогичное утверждение справедливо и для случая интерполяции...
Итак, выбирая надлежащим образом узлы в промежутке
cos a, cos(a+ ~-)\ , можно будет при помощи формулы Лагранжа вос-
восстановить функцию f (х) на всем отрезке [—1, +1]-
Так, например, функция Вейерштрасса, не имеющая производной, есть
частный случай функций вида B5) и, значит, принадлежит к числу
экстраполируемых функций...
Глава IV
ФУНКЦИИ С АБСОЛЮТНО ОГРАНИЧЕННЫМ ПОЛНЫМ ИЗМЕНЕНИЕМ
§ 11...
Именно, из неравенства
мы заключаем, что
и затем, складывая, получаем
Дй_2/ (х.) - Ak_J(x) < Д,_2/ (у.) - Ak_2f(y), C4)
если хг — х — уг — у и у^>х...
Вполне очевидно, что функция /(#), допускающая разложение в ряд
Тэйлора по степеням х — а, может быть представлена как разность двух
абсолютно монотонных функций на отрезке [а, а + Щ, где R — радиус
сходимости: достаточно сгруппировать вместе члены одинакового знака*...
Предыдущие рассмотрения ведут сейчас же к такому предложению:
Пусть F (х) — функция, абсолютно монотонная на отрезке ab] если
f (x) обладает тем свойством, что на всем отрезке
\Akf(x)\^AkF(x), C6)
каково бы ни было к и каково бы ни было конечное приращение h [лишь
бы значения переменной не вышли за пределы ab), то функция f (x)—
аналитическая и разлагается в ряд Тэйлора с радиусом не меньшим, чем
Ъ-а...
Возьмем теперь интерполяционную формулу Ньютона
f(x) = f(a)+
и положим
(х — а) • • • (х — а — п — lh)
Определяя число Н по условию, чтобы уравнение C8) удовлетворя-
удовлетворялось при некотором данном значении х, мы убеждаемся, что это урав-
уравнение будет иметь п + 1 корней в промежутке ab...
D)
Предполагая, что неравенство D) справедливо для всех достаточно больших
значений п, он говорит: «Допуская это заключение1, в правильности кото-
которого можно не сомневаться, но для которого нелегко найти прямое
доказательство, мы видим, что, несмотря на то, что заданная функция
будет рода 0, ряд 2V^lcnj все-таки расходится»...
| © 2007 eKnigu | ||