| Home / lib / M_Mathematics / | ||
Bernshtejn S.N. Sobranie sochinenij, tom 1 (AN SSSR, 1952)(ru)(K)(600dpi)(T)(582s).djvu |
|
Size 13.6Mb Date Jun 21, 2005 |
многочленом, принимающим в последовательных узлах поочередно зна-
значения 4^1; в случае, если -4n+i (x) =Sn(x), таким многочленом является
многочлен Чебышева
Тп (х) = ± cos n arc cos x = ± у [(х + Ух2 — 1)п + (х — Ух2 — l)n]...
Предполагая, что отрезок приведен к [—1, +1], мы, очевидно,
получим
X (х) = Rn+1 (х,а)- Д„ (х) = [/ (а) - Rn (а)] j*^
1 Как я указал в статье [20], интерполяционные многочлены с узлами Чебышева
сходятся и дают для всякой функции внутри отрезка [—1, +1] приближение того
же порядка, что и разложение Фурье в ряд многочленов Тп(х) = cos n arscos#...
Итак, выбирая надлежащим образом узлы в промежутке
cos a, cos(a+ ~-)\ , можно будет при помощи формулы Лагранжа вос-
восстановить функцию f (х) на всем отрезке [—1, +1]-
Так, например, функция Вейерштрасса, не имеющая производной, есть
частный случай функций вида B5) и, значит, принадлежит к числу
экстраполируемых функций...
Это показывает, в соответствии
с ранее сделанным замечанием, что если мы хотим быть уверены в том,
что при произвольных узлах экстраполяция сходится и дает аналитиче-
аналитическое продолжение данной функции, то достаточно для этого соответствую-
соответствующим образом уменьшить отрезок, на котором производится интерполяция...
Пусть, с другой стороны, х-% — х = ух — у = ih и х <iy, тогда
f(x.)-f{x)^f{y.)-f{y)...
Мы
будем называть функцией с абсолютно {или функционально) ограничен-
ограниченным изменением внутри отрезка аЬ всякую функцию / (х), которая ца
данном отрезке аЬ может быть представлена в виде разности двух абсо-
абсолютно монотонных функций ср (х) и ф (х)...
Продолжение функции с абсолютно ограниченным полным изменени-
изменением на отрезке ab на основе требования сохранения этого свойства на
некотором соседнем отрезке, имеющем общую часть с ab, в точности рав-
равносильно аналитическому продолжению...
Основываясь на этом?
утверждаем, что уравнение
получающееся после того, как возьмем п-ю разность от обеих частей
уравнения C8) (при произвольном приращении hv удовлетворяющем не-
неравенству /г!<^8, где 8 достаточно мало), будет иметь хоть один корень
в промежутке аЬ\ такил* образом, получим выражениех для остаточ-
остаточного члена формулы Ньютона C8) в виде
Rn= п Ц-^ (а<1<Ь)...
| © 2007 eKnigu | ||