| Home / lib / M_Mathematics / | ||
Bernshtejn S.N. Sobranie sochinenij, tom 1 (AN SSSR, 1952)(ru)(K)(600dpi)(T)(582s).djvu |
|
Size 13.6Mb Date Jun 21, 2005 |
Интерполяционный многочлен Лагранжа, определяемый узлами а0, ..., ап на отрезке
[—1, +1]>-шшш° будет представить в виде
Rn(x)=Pn(x)+Hn(x), B1)
где
Нп (х) = An±i (х) V ,г , | еп (аг) \ < Еп [f(x)],
И
An+i (x) = (х — а0).....
Мы приходим, таким образом, к сле-
следующему заключению...
Поставим теперь
своей задачей исследовать, возможны ли еще иные экстраполируемые
функции...
Класс функций, допускающих неустойчивую экстраполяцию, более
обширен, но практически не является столь важным...
Но если
не делать никаких предположений относительно распределения узлов, то
вопрос остается открытым, за исключением еще одного, очень частного
1 См...
Из доказанной леммы следует, таким образом, что абсолютно моно-
монотонная функция неограниченно дифференцируема и все ее производные
неотрицательны...
Предыдущие рассмотрения ведут сейчас же к такому предложению:
Пусть F (х) — функция, абсолютно монотонная на отрезке ab] если
f (x) обладает тем свойством, что на всем отрезке
\Akf(x)\^AkF(x), C6)
каково бы ни было к и каково бы ни было конечное приращение h [лишь
бы значения переменной не вышли за пределы ab), то функция f (x)—
аналитическая и разлагается в ряд Тэйлора с радиусом не меньшим, чем
Ъ-а...
Возьмем теперь интерполяционную формулу Ньютона
f(x) = f(a)+
и положим
(х — а) • • • (х — а — п — lh)
Определяя число Н по условию, чтобы уравнение C8) удовлетворя-
удовлетворялось при некотором данном значении х, мы убеждаемся, что это урав-
уравнение будет иметь п + 1 корней в промежутке ab...
Таким образом, достаточно
показать, что если неравенства (Ю) справедливы для N = iV0, то они
также будут справедливы для N = No + I...
B3)
Каждый член первой части может быть представлен в виде
-i/^ft^=-L1/1+
1/
} <24>
При этом
Pm—Pm-i __ ( , Prn + Prn-i
B5)
B6)
Цо, умножая на рт — рт_х оба члена неравенства B3), справедливого, по
предположению, для всех значений т, которые мы теперь рассматриваем,
мы имеем
L т I "хп* т— 1 ¦* т— 1J • m ^^^ * т * т— V
ИЛИ
A + k*p?J (рт + рт_,) < 2рт A + h*pl_ t)...
)
ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ОТНОСИТЕЛЬНО
АБСОЛЮТНО МОНОТОННЫХ ФУНКЦИЙ *
Если даны к ~\- 1 положительных значений Л/о, М v .....
| © 2007 eKnigu | ||