| Home / lib / M_Mathematics / | ||
Alekseev V.M. (red.) Sbornik zadach pamyati Otto Dankelja (Mir, 1977)(ru)(K)(T)(598s).djvu |
|
Size 4.6Mb Date Oct 13, 2004 |
составляет одну восьмую периметра ортоцентрического тре-
треугольника...
Разумеется, если различные про-
простые делители pt (i = 1, 2, ..., k) входят в разложение
числа п с показателями степени аг и Oi = а2 = .....
Из всех квадратов, вписанных в прямо-
прямоугольный треугольник, наибольшей площадью обладает
тот, у которого одна из вершин совпадает с вершиной
прямого угла...
Отразим прямую СМ сначала
относительно прямой CD, а затем относительно прямой
MB...
Решение этого уравнения и = а приводит к следую-
следующей факторизации исходного дифференциального опера-
оператора
(D + a)* = r->[D + a-r'/r]-r[D + a]...
Методом математической индукции нетрудно дока-
доказать, что
[я/2]
Е
Таким образом, из соотношений A) и C) получаем
где Рп(а) определяется из соотношения D)...
Кроме того, из рекуррентных соот-
соотношений B) следует, что
Уп+2 = 2г/„+1 -f" 32„+1, zn+2 = 2г:„+1 -f- Уп+\-
Исключив из этих соотношений и соотношений B) соот-
соответственно z а у, получим рекуррентные соотношения
Уп+2 == *Уп+1 Уп> %п+2 ^ 42n+i Zn...
Рекуррентные соотношения B) и C) позволяют пре-
преобразовать тождество
2«/n+iZn+, = Bуп+1 — Ъгп+1){уп+1 + 2zn+l) -f
+ Bг„+1 — уп+1) Bг/„+1 + 3zn+i)
к симметричному виду
2г/„+12„+1 = Уп^п+2 + Уп+2*п...
C)
/-2 »=2,»,&/
326
По формуле, приведенной в предыдущей задаче, первый
член выражения C) равен sin kn/2, а третий член по
предположению индукции равен
„n?±!)»_(_i)
i-2
После подстановки и сокращения подобных членов по-
получаем
k+i k+i k+i
/=¦1 1-1,1Ф1 i-l
что и требовалось доказать...
Чтобы применить доказанную теорему к утвержде-
утверждениям задачи, заметим следующее...
Не ограничи-
ограничивая общности, предположим, что внутренние углы тре-
треугольника удовлетворяют неравенствам Ai^A2^A3...
A)
Если существует один треугольник, вписанный в ги-
гиперболу Я и одновременно описанный вокруг окружно-
окружности Р, то, как известно, мы можем построить другой
треугольник ABC с теми же свойствами, выбрав за вер-
вершину А любую точку на гиперболе Н, не принадлежа-
принадлежащую окружности Р, проведя из А две касательные к ок-
окружности Р и приняв за вершины В и С точки пересе-
пересечения этих касательных с гиперболой Я (отличные от
точки Л)...
| © 2007 eKnigu | ||