| Home / lib / M_Mathematics / | ||
Alekseev V.M. (red.) Sbornik zadach pamyati Otto Dankelja (Mir, 1977)(ru)(K)(T)(598s).djvu |
|
Size 4.6Mb Date Oct 13, 2004 |
Ун' —Уо _ S ctg V
~
откуда видно, что три точки Н', К, О лежат на одной
прямой и
Н'О _ S ctg V
КО ~ Я2 *
По известным формулам из геометрии треугольника
О К = R tg V Vctg2K-3, откуда ОН' = S ^/ctg2V -3/R...
Пусть ри р2, ..., ри — различные простые дели-
делители числа п, а т=п/р1р2 .....
Ясно, что
если среди квадратов, содержащихся в треугольнике
ABC, имеется квадрат с наибольшей площадью, то вер-
вершины такого квадрата лежат на каждой из сторон тре-
треугольника ABC; обозначив соответствующим образом
вершины треугольника и квадрата, мы можем считать
последний принадлежащим множеству ?•
Из элементарных соображений ясно, что вершина 5
равно отстоит от прямой АВ и перпендикулярной к АВ
прямой т, проходящей через вершину R...
Подставляя р = г~1 в первые два уравнения B) и ис-
исключая из них q, находим
rs/ — sr/ = s2 + 2ars + {a2 + b2)r2...
Факторизацию (9) получить таким способом не-
невозможно...
Несложным преобразованием разложение
1п«+1=1п_^этт =
п ...
При п= 2 формула верна, поскольку ctg(ai — ЯгL-
-f- ctg(a2 — ui) = 0 = sin п...
Сле-
Следовательно, проделав такое преобразование, мы сведем
исходную задачу к задаче о нахождении многоугольника
с максимальной площадью, вписанного в единичную
окружность, и многоугольника с минимальной пло-
площадью, описанного вокруг той же окружности...
Полученное про-
противоречие доказывает, что все п точек множества М ле-
лежат на одной прямой...
Записав доказанное тождество в виде
j ^, XW+1)I2
A -x)(l -*3)A -Xs) .....
Если данное число а.\ не является
делителем произведения других членов последователь-
последовательности, то по крайней мере один из простых делителей
числа аи например число pj, входит в разложение этого
числа в произведение степеней простых чисел с показа-
показателем степени, превышающим сумму всех показателей
степени, с которыми простое число р} входит в разло-
разложения других членов последовательности...
Как будет доказано ниже, к=фО, поэтому с = 0, то есть
гипербола Я в этом случае должна проходить через
центр О окружности Р...
| © 2007 eKnigu | ||